统计检验差异解析

以下从统计假设、适用条件、鲁棒性与功效、结果解读与报告、以及实践选择等方面系统比较两样本 t 检验与 Mann-Whitney U 检验（亦称Wilcoxon秩和检验）。

一、检验目标与原假设
- 两样本 t 检验（独立样本）
  - 目标：比较两总体均值是否存在差异。
  - 原假设 H0：两组均值相等。备择假设可为双侧或单侧。
  - 变体：Student t（假设方差齐性）与 Welch t（不假设方差齐性，推荐默认使用）。
- Mann-Whitney U 检验（MWU）
  - 目标：比较两组分布位置是否系统性不同，基于秩次而非原始数值。
  - 原假设 H0：两组分布相同（在连续、无大量并列值条件下等价于 P(X>Y)=0.5，即无系统性“更大”的概率优势）。
  - 注意：只有在两组分布形状与尺度相同（仅存在位置平移）时，MWU 对“中位数差异”的检验解释才成立；否则它是对总体分布差异或随机优势的检验，而非严格的“中位数差异”。

二、数据与分布假设
- 两样本 t 检验
  - 数据尺度：至少区间尺度（均值有意义）。
  - 分布：小样本时要求近似正态；大样本可依靠中心极限定理放宽正态性要求。
  - 方差：Student t 要求方差齐性；Welch t 放宽此要求（推荐常规使用）。
  - 独立性：两组独立，组内观测独立。
- Mann-Whitney U 检验
  - 数据尺度：至少有序（ordinal）即可，适用于偏态、离群值多或离散数据。
  - 分布：不要求正态（分布无参数假设）；若存在大量并列值（ties），需使用适当方差修正或精确法。
  - 独立性：两组独立，组内观测独立。

三、鲁棒性与功效（检验力）
- 鲁棒性
  - t 检验对重尾分布与极端离群值敏感；Welch t 对方差不齐较稳健。
  - MWU 对离群值较稳健（使用秩），对严重偏态更稳健；但当两组分布形状/尺度显著不同（不仅是位置差异）时，其拒绝可能反映整体分布差异，而非纯粹“位置差异”。
- 渐近效率（典型情形）
  - 在正态且方差齐的理想条件下，t 检验最优（似然比检验），MWU 相对效率约为0.955，功效略低。
  - 在重尾或偏态分布中，MWU 常较 t 检验更有力。
- 样本量与不平衡
  - 两者均可处理不等样本量；t 检验中建议优先用 Welch 版本。
  - MWU 在极端不平衡、且分布形状差异较大时，结果解读更需谨慎。

四、效应量与点估计
- t 检验
  - 效应量：Cohen’s d（或Hedges’ g），并报告均值差及其置信区间。
- Mann-Whitney U
  - 概率型效应量：AUC（即“共同语言效应量”/概率优势）= U/(n1*n2)；或秩二分相关（rank-biserial）= 2*AUC − 1；或 Cliff’s delta。
  - 位置差点估计（在形状相同前提下）：Hodges–Lehmann 估计（两组所有成对差值的中位数），可给出稳健的差异大小与区间。
  - 大量 ties 时，优先报告概率型效应量或使用自助法置信区间。

五、计算与检验形式
- t 检验
  - 统计量服从 t 分布（Welch 采用Satterthwaite 自由度近似）。
- Mann-Whitney U
  - 统计量基于秩和；小样本可做精确检验；大样本用正态近似并对 ties 进行方差修正；可用连续性校正。

六、何时使用哪一种
- 优先使用 t（Welch）检验的情形
  - 研究问题关注“均值差异”。
  - 数据为连续、近似对称，无明显重尾/离群（或样本量较大，均值有明确科学意义）。
- 优先使用 Mann-Whitney U 的情形
  - 数据为有序等级（如Likert量表），或存在明显偏态/离群值，不愿对分布做强假设。
  - 研究问题更关注“一个分布是否系统更大”（概率优势、随机占优），或中位数差且相信两组仅为位置平移。
- 如果方差与形状差异都很明显，而你又关心“中位数差”，考虑：稳健均值检验（如截尾均值的Yuen检验）、Hodges–Lehmann 配合置信区间、或基于置换/自助的非参数差异检验。若关注“P(X>Y)”而允许形状差异，Brunner–Munzel 检验较 MWU 更稳健。

七、常见误区
- 将 MWU 结果直接解释为“中位数差异显著”是不严谨的，除非可合理假设两组分布形状与尺度相同。
- 小样本下用正态性显著性检验来决定是否用 t 检验并不可靠（功效低）。应结合数据可视化（密度/QQ图）、领域知识与稳健方法。
- 在明显方差不齐时仍使用 Student t（而非 Welch t）会导致显著性与置信区间失真。
- MWU 对大量并列值的 p 值需用修正；离散评分数据（如有限等级）应注意这一点。

八、报告建议
- t（Welch）检验：报告均值±标准差、样本量、检验类型（Welch/Student）、统计量、自由度、p 值、效应量（Cohen’s d 或 Hedges’ g）及其置信区间。
- Mann-Whitney U：报告中位数或稳健位置估计、样本量、U 值、p 值、效应量（AUC/Cliff’s delta/秩二分相关）及其区间；若假设位置平移，可同时报告 Hodges–Lehmann 差异及区间。

简要对照
- 参数性质：t 为参数检验；MWU 为分布无参数（基于秩）。
- 目标参数：t 比较均值；MWU 比较分布位置/随机占优（在形状相同下可视作中位数差）。
- 假设要求：t 需要近似正态（或大样本）且注意方差不齐（用 Welch）；MWU 无正态要求，对离群更稳健。
- 数据尺度：t 需至少区间；MWU 适用于至少有序。
- 功效：正态理想条件下 t 略优；偏态/重尾/离群下 MWU 往往更有力。

实践建议
- 默认两独立样本比较时，若关注均值且无明显偏态/离群，优先 Welch t；若偏态显著、离群多或为有序数据，优先 MWU。
- 事前用可视化检查分布与方差；必要时同时报告稳健效应量与敏感性分析结果。

以下从统计量定义、分布性质、模型联系、适用条件与小样本行为、零计数处理、效应量与报告、以及工具实现等方面，对卡方检验（Pearson χ²）与G检验（似然比检验，G²）进行系统比较。

1) 适用场景与核心问题
- 两者都用于离散计数数据（多项式/Poisson 采样）的假设检验：
  - 拟合优度检验：观测分布是否符合给定理论分布。
  - 列联表检验：分类变量的独立性或样本同质性。
- 本质区别在于检验统计量构造：χ²基于残差平方加权，G²基于似然比（对数似然差）。

2) 统计量定义
- 记 O_i 为观测频数，E_i 为在原假设 H0 下的期望频数。
- Pearson χ²: X² = Σ (O_i − E_i)² / E_i
- G检验（似然比）: G² = 2 Σ O_i ln(O_i / E_i)（默认使用自然对数；当 O_i=0 时，按极限约定 O_i ln(O_i/E_i)=0）
- 二者都在大样本下近似服从卡方分布：X², G² → χ²_df
  - 拟合优度：df = K − 1 − q（K为类别数，q为从数据估计的参数个数）
  - 独立性/同质性（r×c 表）：df = (r − 1)(c − 1)

3) 理论联系与差异
- 一致性与近似等价：在 H0 附近，G² 通过泰勒展开与 X² 等价，差异为高阶项；大样本下两者p值几乎一致。
- 模型解释：
  - G²是多项式/Poisson 对数线性模型中的“偏差”(deviance)，等于饱和模型与受限模型的2倍对数似然差；便于做嵌套模型比较、逐步选择与GLM框架统一分析。
  - X²是基于残差的二阶近似，计算与解释直观，传统报告更常见。
- 信息论视角：G² 与 Kullback–Leibler散度直接相关；X²与二次型距离相关。
- 统计家族：二者均为 Cressie–Read 功率散度统计量的特例（λ=1 得 X²；λ=0 得 G²）。

4) 小样本与稀疏表行为
- 经验规则（保守但常用）：
  - 期望频数 E_i 应尽量 ≥ 5；或至少80%单元格 E_i ≥ 5 且无 E_i < 1。
- 差异与修正：
  - 2×2 表中，Pearson χ²常配合 Yates 连续性校正以减小第一类错误；G²无对应的标准连续性校正，但在拟合优度场景有 Williams 修正（较少用）。
  - 在偏斜/稀疏分布下，G²有时比χ²更稳定，但两者都可能偏离名义显著性水平。
- 建议：
  - 若期望频数较小或存在稀疏性，优先考虑精确检验（如2×2使用Fisher精确检验）或蒙特卡洛置换/模拟p值。
  - 若必须使用渐近检验，报告并审慎解读结果，或合并稀疏类别。

5) 零计数与结构性零
- O_i = 0：
  - X²项为 E_i（可计算）；G²按约定 0·ln(0/E_i)=0，可计算。
- E_i = 0：
  - 统计量不定义，意味着在H0下该结果概率为0；需合并类别或重设模型。
- 结构性零（结构约束导致的必为0）：
  - 不应计入常规自由度；使用对数线性模型设定结构零或采用合适的受限模型/精确方法。

6) 假设、稳健性与扩展
- 采样假设：独立观测、固定总数的多项式（或等价的Poisson）采样。
- 复杂抽样/权重：标准χ²近似失效，需使用调查设计修正（如Rao–Scott调整）或基于设计的推断。
- 过度离散：若数据方差明显大于多项式/Poisson假设，G²与X²都会膨胀；应转向分层/混合模型或拟合更合适的分布。

7) 功效与选择建议
- 功效差异通常很小；在偏离较大或分布不均衡时，G²略有优势；在非常大样本下两者结果几乎一致。
- 选择建议：
  - 需要与GLM/对数线性模型衔接、比较嵌套模型或做模型选择：优先G²（报告“偏差差异”的χ²检验）。
  - 传统列联表分析、教学或标准报告：Pearson χ²更常规。
  - 小样本/稀疏：考虑精确或模拟方法；避免仅在χ²与G²之间切换寄望显著改善。

8) 报告与效应量
- 报告内容：统计量（X²或G²）、df、p值、样本量、最小/中位期望频数、是否使用校正或模拟。
- 效应量：列联表常用 φ 或 Cramér’s V（基于χ²和样本量计算）；即便采用G²检验，也可并行给出χ²以计算V，或直接报告基于模型的效应度量（如比值比、对数线性系数）。

9) 常用软件实现
- R：
  - Pearson χ²：stats::chisq.test()（2×2可用Yates校正；simulate.p.value可做蒙特卡洛p值）
  - G检验：DescTools::GTest()；或使用MASS::loglm()/stats::glm(family=poisson)并比较偏差
- Python（SciPy）：
  - 列联表：scipy.stats.chi2_contingency(observed, correction=..., lambda_="pearson" 或 "log-likelihood")；后者即G检验
  - 拟合优度：scipy.stats.power_divergence(observed, expected, lambda_="pearson"/"log-likelihood")

要点总结
- Pearson χ²与G检验在大样本下近似等价；差别主要在统计量构造与模型化解释。
- G检验是标准的似然比框架（GLM中的偏差），在模型比较与扩展分析中更自然。
- 小样本或稀疏数据时，两者都可能不可靠；应考虑精确或模拟方法，或合并类别。
- 报告时关注假设、自由度、期望频数与可能的校正，并配合效应量与区间估计展现实际意义。

Summary
- Both the log-rank and Breslow (Gehan–Breslow–Wilcoxon) tests are nonparametric methods for comparing survival distributions across groups under right-censoring.
- They use the same core framework—comparing observed to expected events at each distinct failure time—but differ in their weighting of event times, which affects power under different time-patterns of treatment effects.

Common framework
- Let t1 < t2 < … < tJ be the distinct event times.
- At time tj:
  - dgj = events in group g
  - ngj = at risk in group g just prior to tj
  - dj = Σg dgj (total events)
  - nj = Σg ngj (total at risk)
- Expected events in group g under the null: Egj = dj × (ngj / nj).
- Generic test statistic: U = Σj wj × (dgj − Egj), with variance computed from the hypergeometric model, Var(U) = Σj wj^2 × [ng1 ng2 dj (nj − dj)] / [nj^2 (nj − 1)] in the two-group case (extended similarly to k groups).
- Choice of weights wj differentiates the tests.

Log-rank test
- Weights: wj = 1 for all j (each event time weighted equally).
- Properties:
  - Most powerful when hazards are proportional (constant hazard ratio over time).
  - Detects persistent, sustained differences across the entire follow-up.
  - Less sensitive to when the differences occur (early vs late), since all event times are equally weighted.
  - Score test equivalence: it is the score test for the Cox proportional hazards model with a group indicator and no other covariates.

Breslow (Gehan–Breslow–Wilcoxon) test
- Weights: wj = nj (total number at risk just before tj).
  - Early event times typically have larger nj; thus early events receive higher weights.
- Properties:
  - More sensitive to early differences between survival curves (e.g., treatments with early benefit or early toxicity).
  - Less sensitive to late differences because fewer remain at risk (smaller nj) at later times.
  - Power can be more affected by the censoring distribution: heavy early censoring or unequal censoring patterns can change the effective weighting of event times more strongly than in the log-rank test (still valid under non-informative censoring).
  - Often described as a Wilcoxon-type test adapted to right-censoring.

When to use which
- Use log-rank when proportional hazards is plausible or when differences are expected to be sustained over time.
- Use Breslow when prior knowledge or exploratory plots suggest early separation of survival curves.
- If non-proportional hazards are suspected, consider reporting both or using a family of weighted tests (e.g., Fleming–Harrington) and complementary measures (e.g., restricted mean survival time), ideally pre-specified.

Additional notes
- Both tests handle right-censoring under the assumption of non-informative censoring and independent observations.
- Do not confuse the “Breslow test” with the “Breslow approximation” for handling ties in Cox regression; they address different issues.
- For intermediate weighting, other tests exist (e.g., Tarone–Ware uses wj = √nj), but the core distinction remains: log-rank (uniform weighting) vs Breslow (risk-set weighting favoring early times).