推导过程生成器

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Nov 3, 2025更新

本工具专为数学、物理及工程领域设计，能够根据初始公式、约束条件和目标结果，自动生成逻辑严密、步骤清晰的推导过程。通过分步解析和深度推理，帮助用户理解复杂问题的解决路径，提升学习效率和问题解决能力。适用于教学辅助、科研分析及工程计算等多种场景，确保推导过程的准确性和可追溯性。

推导目标

求射程的解析式：R(θ) = (v0^2 / g) · sin(2θ)
用微分法求最优仰角：θ* = 45°
得最大射程：R_max = v0^2 / g

初始条件

运动方程（无空气阻力，仅受重力，加速度常量 g，发射与着地点等高）：
- x(t) = v0 · cosθ · t
- y(t) = v0 · sinθ · t − (1/2) · g · t^2
着地条件：y = 0
约束：θ ∈ [0, π/2]，t ≥ 0，g 为常数且 g > 0

推导步骤

步骤名称：运动分解与方程设定
- 操作过程：将二维抛体运动分解为水平方向匀速、竖直方向匀加速度运动，写出给定的参数方程 x(t) 与 y(t)。
- 依据原理或定理：力的正交分解与独立性原理；匀加速度直线运动的位移公式。
步骤名称：着地时间的代数求解
- 操作过程：设 y(t) = 0，解 v0 sinθ · t − (1/2) g t^2 = 0。因式分解得 t [v0 sinθ − (1/2) g t] = 0，两根为 t = 0（发射瞬间）与 t = (2 v0 sinθ)/g。取物理解 t_land = (2 v0 sinθ)/g（t ≥ 0，且非平凡解）。
- 依据原理或定理：代数方程求根（因式分解或一元二次方程求根公式）；物理合理性选择非零正时间。
步骤名称：消去时间并构造射程表达式
- 操作过程：将 t_land 代入 x(t)，得 R = x(t_land) = v0 cosθ · (2 v0 sinθ / g) = (2 v0^2 / g) sinθ cosθ。
  利用三角恒等式 sin(2θ) = 2 sinθ cosθ，化简为 R(θ) = (v0^2 / g) · sin(2θ)。
- 依据原理或定理：代数替换；三角恒等式 sin(2θ) = 2 sinθ cosθ。
步骤名称：微分法求极值
- 操作过程：对 R(θ) 求导： dR/dθ = (v0^2 / g) · d/dθ[sin(2θ)] = (v0^2 / g) · 2 cos(2θ)。
  令 dR/dθ = 0 ⇒ cos(2θ) = 0 ⇒ 2θ = π/2 + kπ。结合 θ ∈ [0, π/2]，可行解为 θ* = π/4。
  为判定极值性质，二阶导数： d²R/dθ² = (v0^2 / g) · d/dθ[2 cos(2θ)] = (v0^2 / g) · (−4 sin(2θ))。
  在 θ* = π/4 处，sin(2θ*) = sin(π/2) = 1 ⇒ d²R/dθ²|_{θ*} = −4 (v0^2/g) < 0，为极大值。
- 依据原理或定理：微分求极值法；一阶必要条件与二阶充分判别法。
步骤名称：最大射程与参数约束检验
- 操作过程：将 θ* = π/4 代入 R(θ)，得到 R_max = (v0^2 / g) · sin(π/2) = v0^2 / g。
  检查约束：θ ∈ [0, π/2] 满足；t_land = (2 v0 sinθ)/g ≥ 0 因为 sinθ ≥ 0；g > 0 保证下落。边界值检验：
  - θ = 0 ⇒ sin(2θ) = 0 ⇒ R = 0（水平地面上不抬高仰角，竖直位移为零时间？实际为沿水平线但无竖直分量，着地时间为 0，射程为 0）
  - θ = π/2 ⇒ sin(π) = 0 ⇒ R = 0（竖直上抛，无水平位移）
- 依据原理或定理：边界值分析；物理一致性检验。
步骤名称：量纲与一致性验证
- 操作过程：检查 R 的量纲： v0 的量纲为 L/T，故 v0^2/g 的量纲为 (L^2/T^2)/(L/T^2) = L，与射程的长度量纲一致；sin(2θ) 无量纲。
- 依据原理或定理：量纲分析法。

结果验证

反向代入验证：使用 t_land = (2 v0 sinθ)/g 代回 y(t)，得 y(t_land) = v0 sinθ · (2 v0 sinθ/g) − (1/2) g · (4 v0^2 sin^2θ/g^2) = (2 v0^2 sin^2θ/g) − (2 v0^2 sin^2θ/g) = 0，满足着地条件。
特例检验：
- θ = 0 ⇒ R = 0，与物理直觉一致。
- θ = π/2 ⇒ R = 0，与竖直上抛一致。
- θ = π/4 ⇒ R = v0^2/g 达到最大，且二阶导数为负，确认为极大值。
结论与目标一致：R(θ) = (v0^2 / g) · sin(2θ)，θ* = 45°，R_max = v0^2 / g。

推导目标

求得简支均布载荷梁的挠度函数 w(x) 的解析式。
给出弯矩与挠度的关系式。
推导跨中最大挠度 w_max = 5·q·L^4/(384·EI)。
推导跨中弯矩的最大值（按常用“下挠为正、挠度曲率与弯矩同号”的约定其数值为负，绝对值为 M_max = q·L^2/8）。

初始条件

控制方程（Euler–Bernoulli 梁方程，材料与截面常量）：EI·w''''(x) = q，q 为恒定均布载荷（向下）。
边界条件（简支端）：w(0) = 0，w(L) = 0，w''(0) = 0，w''(L) = 0。
约束与假设：小挠度线弹性、材料均匀各向同性、截面保持平面、忽略剪切变形与温度影响。
变量与符号约定：w(x) 为挠度（向下为正），M(x) 为弯矩；采用 M(x) = EI·w''(x) 的约定，与 EI·w''''(x) = q 一致（此约定下均布荷载引起的跨中挠度为正、弯矩为负，弯矩绝对值与常用静力结果一致）。

推导步骤

步骤名称：建立控制方程
- 具体操作过程：采用 Euler–Bernoulli 梁理论，在均布载荷 q 下有 EI·w''''(x) = q。
- 依据原理或定理：Euler–Bernoulli 梁曲率-弯矩关系与荷载-弯矩的两次导数关系（d²M/dx² = q，且 M = EI·w''）。
步骤名称：第一次积分（得到三阶导）
- 具体操作过程：对 w''''(x) = q/EI 积分一次，得 w'''(x) = (q/EI)·x + C1。
- 依据原理或定理：不定积分与线性常系数微分方程基本解法。
步骤名称：第二次积分（得到曲率并用端部零弯矩定常数）
- 具体操作过程：再积分，得 w''(x) = (q/(2EI))·x² + C1·x + C2。由简支端零弯矩条件（w''(0) = 0）得 C2 = 0；由 w''(L) = 0 得 (q/(2EI))·L² + C1·L = 0 ⇒ C1 = −qL/(2EI)。故 w''(x) = (q/(2EI))·(x² − Lx)。
- 依据原理或定理：边界条件（简支端弯矩为零）与曲率-弯矩关系 M = EI·w''。
步骤名称：弯矩与剪力表达式
- 具体操作过程：由 M(x) = EI·w''(x)，得 M(x) = (q/2)·(x² − Lx) = −(q/2)·x(L − x)。其绝对值形式（常用静力学“挠度向下为正、弯矩正号对应受拉在下缘的下挠”时）为 |M(x)| = (q/2)·x(L − x)，跨中 x = L/2 处 |M_max| = qL²/8。剪力 V(x) = dM/dx = q(x − L/2)，与 d²M/dx² = q 一致。
- 依据原理或定理：曲率-弯矩关系，静力平衡关系（V = dM/dx，q = d²M/dx²）。
步骤名称：第三次积分（得到转角）
- 具体操作过程：对 w''(x) 积分，得 w'(x) = ∫(q/(2EI))(x² − Lx) dx = (q/(6EI))·x³ − (qL/(4EI))·x² + C3。
- 依据原理或定理：不定积分与线性叠加原理。
步骤名称：第四次积分（得到挠度并用位移边界定常数）
- 具体操作过程：再积分，得 w(x) = (q/(24EI))·x⁴ − (qL/(12EI))·x³ + C3·x + C4。由 w(0) = 0 得 C4 = 0。由 w(L) = 0 得 (q/(24EI))·L⁴ − (qL/(12EI))·L³ + C3·L = 0 ⇒ C3 = qL³/(24EI)。因此 w(x) = (q/(24EI))·(x⁴ − 2Lx³ + L³x)。
- 依据原理或定理：边界条件（简支端位移为零）与线性不定积分。
步骤名称：确定最大挠度位置与数值
- 具体操作过程：对称性下最大挠度在跨中；亦可令 w'(x) = 0 求解极值： w'(x) = (q/(6EI))·x³ − (qL/(4EI))·x² + qL³/(24EI)。令 w'(x) = 0 等价于 4x³ − 6Lx² + L³ = 0，解得 x = L/2（其余为端部不适用的根）。代入 w(x)： w(L/2) = (q/(24EI))·[ (L/2)⁴ − 2L(L/2)³ + L³(L/2) ] = (q/(24EI))·(L⁴/16 − L⁴/4 + L⁴/2) = (q/(24EI))·(5L⁴/16) = 5qL⁴/(384EI)。
- 依据原理或定理：极值判据（dw/dx = 0）、结构对称性与微分法。
步骤名称：结果物理意义与符号约定说明
- 具体操作过程：在采用 M = EI·w'' 的约定下，均布荷载引起的下挠曲率为正，弯矩为负（表示“下缘受拉”的常见正弯矩在此记为负号）；故跨中弯矩数值 M(L/2) = −qL²/8，其绝对值为 qL²/8，与静力学常用正号约定的一致。
- 依据原理或定理：号志约定与静力学一致性检查。

结果验证

反向代入控制方程：由 w(x) = (q/(24EI))(x⁴ − 2Lx³ + L³x)，计算各阶导数： w'(x) = (q/(6EI))x³ − (qL/(4EI))x² + qL³/(24EI)； w''(x) = (q/(2EI))(x² − Lx)； w'''(x) = (q/EI)(x − L/2)； w''''(x) = q/EI ⇒ EI·w''''(x) = q，满足控制方程。
边界条件验证：w(0) = 0，w(L) = 0；w''(0) = 0，w''(L) = 0，均满足简支端条件。
弯矩与静力学一致性：M(x) = EI·w''(x) = (q/2)(x² − Lx)；其绝对值 |M(x)| = (q/2)x(L − x)，与静力学由支座反力 R_A = R_B = qL/2 推得的弯矩图 M_sagging(x) = (q/2)x(L − x) 完全一致；跨中绝对值 |M_max| = qL²/8。
最大挠度对称性与极值验证：w'(L/2) = 0，且 w''(L/2) < 0（对应 w 的局部极大），故 w_max = w(L/2) = 5qL⁴/(384EI)，与经典解一致。

最终结果与关系式汇总

挠度解析式：w(x) = (q/(24EI))·(x⁴ − 2Lx³ + L³x)。
弯矩-挠度关系：M(x) = EI·w''(x) = (q/2)·(x² − Lx)，其绝对值 |M(x)| = (q/2)·x(L − x)。
跨中最大挠度：w_max = 5·q·L⁴/(384·EI)。
跨中弯矩绝对值：M_max = q·L²/8（在本文号志下 M(L/2) = −q·L²/8）。

推导目标 在正态-正态共轭模型下，给定观测 x1,…,xn 独立同分布于 N(μ,σ^2)，先验 μ∼N(μ0,τ^2)，σ^2 已知，求后验分布

μ|x ∼ N(μ_n, τ_n^2)
τ_n^2 = 1 / (n/σ^2 + 1/τ^2)
μ_n = [ (n/σ^2)·x̄ + (1/τ^2)·μ0 ] / ( n/σ^2 + 1/τ^2 ) 并给出证据项（边际似然）p(x | μ0,τ^2,σ^2) 的形式说明。

初始条件

观测模型（似然）：xi | μ ∼ N(μ, σ^2)，i=1,…,n；独立同分布。
先验：μ ∼ N(μ0, τ^2)。
σ^2 为已知常数。
样本均值：x̄ = (1/n) ∑_{i=1}^n xi。
采用对数后验展开并配平方，明确常数项处理。

推导步骤

名称：写出对数似然
- 操作：
  - p(x | μ) = ∏_{i=1}^n [ (2πσ^2)^{-1/2} exp{ - (xi - μ)^2 / (2σ^2) } ]。
  - 令 S = ∑_{i=1}^n (xi - x̄)^2（样本离差平方和），利用恒等式 ∑_{i=1}^n (xi - μ)^2 = S + n(μ - x̄)^2。
  - 则 log p(x | μ) = - (n/2) log(2πσ^2) - S/(2σ^2) - [ n(μ - x̄)^2 ] / (2σ^2)。
- 依据原理或定理：
  - 正态密度的对数形式。
  - 平方和分解恒等式：∑(xi - μ)^2 = ∑(xi - x̄)^2 + n(μ - x̄)^2（代数恒等式）。
名称：写出对数先验
- 操作：
  - p(μ) = (2πτ^2)^{-1/2} exp{ - (μ - μ0)^2 / (2τ^2) }。
  - log p(μ) = - (1/2) log(2πτ^2) - (μ - μ0)^2 / (2τ^2)。
- 依据原理或定理：
  - 正态密度的对数形式。
名称：组合成对数后验（去除与 μ 无关的常数）
- 操作：
  - log p(μ | x) = log p(x | μ) + log p(μ) + 常数（与 μ 无关）。
  - 去除与 μ 无关项后，得到 log p(μ | x) = - (1/2) [ (n/σ^2)(μ - x̄)^2 + (1/τ^2)(μ - μ0)^2 ] + C，其中 C = - (n/2) log(2πσ^2) - S/(2σ^2) - (1/2) log(2πτ^2) 为不含 μ 的常数。
- 依据原理或定理：
  - 贝叶斯定理的对数形式：log posterior = log likelihood + log prior + 常数。
  - 常数项可并入归一化因子，不影响关于 μ 的形状。
名称：展开二次项并收集系数
- 操作：
  - 展开：(n/σ^2)(μ - x̄)^2 + (1/τ^2)(μ - μ0)^2 = [n/σ^2 + 1/τ^2] μ^2 - 2[ (n x̄)/σ^2 + μ0/τ^2 ] μ + [ (n/σ^2) x̄^2 + (1/τ^2) μ0^2 ]。
  - 记 A = n/σ^2 + 1/τ^2，B = (n x̄)/σ^2 + μ0/τ^2，D = (n/σ^2) x̄^2 + (1/τ^2) μ0^2。
  - 则 log p(μ | x) = - (1/2) [ A μ^2 - 2B μ + D ] + C。
- 依据原理或定理：
  - 二次多项式展开与系数收集（代数）。
名称：配平方以得到后验的参数形式
- 操作：
  - 配平方：A μ^2 - 2B μ = A[ μ^2 - 2(B/A) μ ] = A[ (μ - B/A)^2 - (B/A)^2 ]。
  - 因此 log p(μ | x) = - (1/2) A (μ - B/A)^2 + (1/2) A (B/A)^2 - (1/2) D + C。
  - 定义后验参数： τ_n^2 = 1/A = 1 / (n/σ^2 + 1/τ^2)， μ_n = B/A = [ (n/σ^2) x̄ + (1/τ^2) μ0 ] / (n/σ^2 + 1/τ^2)。
  - 则 log p(μ | x) = - (μ - μ_n)^2 / (2 τ_n^2) + C'，其中 C' = - (1/2)[ D - B^2/A ] + C = - (1/2)[ (n/σ^2) x̄^2 + (1/τ^2) μ0^2 - μ_n^2/τ_n^2 ] + C 为不含 μ 的常数。
- 依据原理或定理：
  - 完全平方（配平方）方法。
  - 正态分布的指数二次型判定：形如 exp{ - (μ - μ_n)^2 / (2 τ_n^2) } 即为正态核。
名称：写出后验分布的标准化形式
- 操作：
  - 因为对数后验为正态核，且 τ_n^2 > 0，后验密度为 p(μ | x) = (2π τ_n^2)^{-1/2} exp{ - (μ - μ_n)^2 / (2 τ_n^2) }。
  - 标准化常数 (2π τ_n^2)^{-1/2} 由正态密度积分为 1 的性质确定。
- 依据原理或定理：
  - 正态分布的归一化常数。
  - 高斯积分 ∫ exp{ - (μ - μ_n)^2 / (2 τ_n^2) } dμ = √(2π τ_n^2)。
名称：证据项（边际似然）形式与推导
- 操作：
  - 证据项定义：p(x) = ∫ p(x | μ) p(μ) dμ。
  - 按步骤3–5的配平方结果，μ 相关部分积分为 ∫ exp{ - (1/2) A (μ - μ_n)^2 } dμ = √(2π/A) = √(2π τ_n^2)。
  - 将与 μ 无关的指数常数与前置常数合并，得到 p(x | μ0, τ^2, σ^2) = (2π σ^2)^{-n/2} (2π τ^2)^{-1/2} √(2π τ_n^2) × exp{ - S/(2σ^2) } × exp{ - (1/2)[ (n/σ^2) x̄^2 + (1/τ^2) μ0^2 - μ_n^2/τ_n^2 ] }。
  - 进一步化简常数： p(x | μ0, τ^2, σ^2) = (2π)^{-n/2} (σ^2)^{-n/2} √( τ_n^2 / τ^2 ) × exp{ - S/(2σ^2) } × exp{ - (1/2)[ (n/σ^2) x̄^2 + (1/τ^2) μ0^2 - μ_n^2/τ_n^2 ] }。
  - 等价形式（更具直观解释）：
    - 利用分解 ∑(xi - μ)^2 = S + n(μ - x̄)^2，可得 p(x | μ0, τ^2, σ^2) = (2π σ^2)^{-(n-1)/2} exp{ - S/(2σ^2) } × N( x̄; μ0, σ^2/n + τ^2 )，其中 N(·; μ0, σ^2/n + τ^2) 表示以 μ0 为均值、方差 σ^2/n + τ^2 的正态密度在 x̄ 的取值。
- 依据原理或定理：
  - 高斯积分与完成平方。
  - 边际化（积分消去参数）的贝叶斯原理。
  - 充分统计量分解：样本均值 x̄ 与离差 S 的分解。

结果验证

反向代入验证：
- 将 μ_n 与 τ_n^2 代入 log p(μ | x) 的完成平方结果，确认为标准正态核形式，归一化常数为 (2π τ_n^2)^{-1/2}，积分为 1。
特例检验：
- 当先验方差 τ^2 → ∞（弱信息先验），A → n/σ^2，τ_n^2 → σ^2/n，μ_n → x̄，后验退化为基于样本均值的似然结果，符合常识。
- 当 τ^2 → 0（强信息先验），τ_n^2 → 0，μ_n → μ0，后验集中在 μ0，符合直觉。
证据项一致性：
- 证据的等价形式显示 p(x) 可分解为“样本离差项”与“样本均值的先验预测密度”，即 p(x) ∝ exp{ -S/(2σ^2) } × N( x̄; μ0, σ^2/n + τ^2 )，这与正态-正态共轭的充分统计量结构一致。

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