计算时间复杂度

对于提供的代码示例，以下是函数的时间复杂度分析：

### 代码分析：
```python
def linear_sum(n):
    total = 0  # 这是一条简单赋值语句，时间复杂度是 O(1)
    for i in range(n):  # 这是一个循环，从 0 到 n-1，总共执行 n 次
        total += i  # 每一次循环执行一个加法操作，总共执行 n 次
    return total  # 返回结果的时间复杂度是 O(1)
```

### 总时间复杂度：
- 具体来说，循环内部的操作（`total += i`）执行了 \(n\) 次，因此循环部分的时间复杂度是 \(O(n)\)。
- 初始化语句和返回语句（`total = 0` 和 `return total`）的时间复杂度是 \(O(1)\)，但与主循环相比，这些是常数操作。

最终，函数的总时间复杂度为 **\(O(n)\)**，因为主循环的复杂度是最高且主导程序的执行时间。

### 总结：
函数 `linear_sum` 的时间复杂度是 **线性时间复杂度 \(O(n)\)**。

好的，让我们一起来分析这段代码的时间复杂度。

### 代码结构解析
1. 外层循环：
   ```python
   for i in range(n):
   ```
   这个循环会运行 `n` 次。

2. 内层循环：
   ```python
   for j in range(k):
   ```
   对于外层循环的每次迭代，内层循环会运行 `k` 次。

3. 内层操作：
   ```python
   result += i * j
   ```
   这是一个简单的加法与乘法操作，是一个 **O(1)** 的操作。

结合外层和内层循环：
- 外层循环运行次数是 `n`。
- 对于外层循环的每一次迭代，内层循环运行 `k` 次。
- 因此，内层操作总共被执行了 \( n \times k \) 次。

### 时间复杂度
- 每次内层循环的操作都是 **O(1)**，即常数时间。
- 总操作次数是 \( n \times k \)。
- 所以，代码的时间复杂度为：
  \[
  O(n \times k)
  \]
  
### 总结
这段代码的时间复杂度是 **O(n × k)**，线性时间复杂度取决于 `n` 和 `k` 的值大小。

分析这段代码的时间复杂度，需要主要参考代码的递归结构。

### 分析代码：
看到这段代码的特点是：
1. 函数 `factorial(n)` 使用了递归结构。
2. 每次调用时将问题规模减小了 1 (`factorial(n - 1)`)，直到递归到基本情况 `n == 0`。

对于递归函数，时间复杂度一般通过“递归树”或“递归公式”来分析：
- 基本情况：当 `n == 0` 时，返回 1，这一步的时间开销是 \(O(1)\)。
- 非基本情况：不断递归调用 `factorial(n-1)`。
- 函数总体调用深度会是 \(n+1\) 层（包括从 \(n\) 调到 0）。

每一层的递归只执行一个乘法操作（花费 \(O(1)\) 时间）。

### 时间复杂度：
因为递归深度为 \(O(n)\)，且每次递归执行 \(O(1)\) 时间操作，所以整体时间复杂度为：

\[
O(n)
\]

### 空间复杂度分析：
**1. 递归调用栈：** 每次递归调用会在栈上压入一个函数调用记录。递归深度为 \(O(n)\)，因此空间复杂度为 \(O(n)\)。

**2. 额外存储使用：** 此代码没有开辟额外的存储空间，因此这一部分是 \(O(1)\)。

最终：
- 时间复杂度：\(O(n)\)
- 空间复杂度：\(O(n)\)