数学题APA生成

页码 1

题目页

标题：特征值、特征向量与对角化：面试与学术评估用五题集合（含解答）

作者：—

机构：—

日期：—

摘要

本文依据线性代数核心主题“特征值、特征向量与对角化策略”编制了五道经结构化设计的问题，覆盖简答题、应用题、计算题与证明题，难度分布于中级、高级与大学本科层级，并面向面试题库与学术评估双场景。编制过程遵循效度与可评分性原则，题干聚焦、可操作性强，解答参考标准教材与同行认可文献，采用作者—日期的APA文内引用以确保准确性与可追溯性（Axler, 2015; Horn & Johnson, 2013; Meyer, 2000; Strang, 2016; Trefethen & Bau, 1997）。结果部分给出问题与详解；讨论部分说明评估目标、评分要点与常见误区，并简述当矩阵不可对角化时的处理策略（如Jordan标准形与Schur分解）及数值稳定性考量（Higham, 2008）。该题集可直接用于候选人的知识面、推理质量与计算能力的综合评估。

引言

特征值、特征向量与对角化是理解线性算子结构、分析动力系统稳定性、构造矩阵函数与降维的基础（Axler, 2015; Strang, 2016）。教学与甄选中常见的能力维度包括：概念辨识、计算与验证、理论证明、以及在工程与数值背景下的策略选择与风险评估（Horn & Johnson, 2013; Trefethen & Bau, 1997）。为兼顾面试与学术评估场景，本文在题型、难度与情境上做了分层设计，确保区分度与可比性，并提供经验证的标准解答与评分指引（Meyer, 2000）。

方法

• 设计原则：

  • 内容效度：紧扣“特征值/特征向量/对角化策略”，覆盖定义—判别—构造—应用—不可对角化处理全链路（Axler, 2015; Meyer, 2000）。
  • 认知层次：从理解与应用到分析与综合（简答—计算—应用—证明）。
  • 难度分布：中级、高级、大学本科交叉配置，兼顾区分度与可达性。
  • 可评分性：每题配步骤化标准答案与关键判据，便于客观评分与面试追问。

• 题型与场景配置：

  • 题型：简答题2道、计算题2道、应用题1道、证明题1道（其中一题兼具策略说明）。
  • 场景：每题均可用于“面试题库”“学术评估”，并在题干或解答中提示可追问点。

• 参考依据：定义、判别与计算公式遵循权威教材与专著；数值稳定性建议遵循矩阵函数与数值线性代数标准参考（Higham, 2008; Trefethen & Bau, 1997）。

结果

题1（简答题；难度：中级；场景：面试题库/学术评估） 题干：给出特征值与特征向量的定义，并回答： a) 方阵A在复数域上何时可对角化的充要条件？ b) 为什么具有两两不同特征值的A必可对角化？ 答案要点：

• 定义：若A ∈ C^{n×n}，λ ∈ C与非零向量v满足Av = λv，则λ为A的特征值，v为对应特征向量（Axler, 2015）。
• 充要条件：A可对角化当且仅当其特征子空间维数之和等于n（即存在n个线性无关特征向量），等价地，A的极小多项式在C上分解为互不相同的线性因子（无重根）（Meyer, 2000）。
• 两两不同特征值蕴含可对角化：若A有n个互异特征值，则不同特征值对应的特征向量线性无关，从而得到n个线性无关特征向量，A可对角化（Axler, 2015; Strang, 2016）。

题2（计算题；难度：大学本科；场景：面试题库/学术评估） 题干：设A = [[4, 1, 0], [0, 4, 0], [0, 0, 2]]。 a) 求A的特征值及其代数重数与几何重数。 b) 判断A是否可对角化，并说明理由。 c) 计算A^5。 标准解：

• 特征值：A为上三角矩阵，特征值为对角元：λ1=4（代数重数2），λ2=2（代数重数1）。
• 几何重数：
  • 对λ=4，A−4I = [[0,1,0],[0,0,0],[0,0,−2]]，解(A−4I)x=0得x2=0，x3=0，x1自由 ⇒ 几何重数1。
  • 对λ=2，A−2I = [[2,1,0],[0,2,0],[0,0,0]]，解得x1=−(1/2)x2，x3自由 ⇒ 几何重数1。
• 对角化性：由于几何重数之和1+1=2 < n=3，A不可对角化（Meyer, 2000）。
• 幂计算：A的Jordan分解为J4 ⊕ [2]，其中J4 = [[4,1],[0,4]]。利用Jordan块幂公式（Horn & Johnson, 2013）：J4^k = 4^k I + k 4^{k−1} N，其中N = [[0,1],[0,0]]且N^2=0，故J4^k = [[4^k, k·4^{k−1}],[0, 4^k]]。从而 A^5 = [[4^5, 5·4^4, 0],[0, 4^5, 0],[0, 0, 2^5]] = [[1024, 1280, 0],[0, 1024, 0],[0, 0, 32]]。

题3（应用题；难度：高级；场景：面试题库/学术评估） 题干：考虑离散时间线性系统x_{k+1} = A x_k，A = [[0.8, 0.3],[0, 0.9]]。 a) 判断系统渐近稳定性（k→∞时x_k的行为）。 b) 写出A^k的显式表达并据此说明x_k的极限。 标准解：

• 特征值：0.8与0.9，谱半径ρ(A)=0.9<1。
• 稳定性：当ρ(A)<1时，A^k→0（Horn & Johnson, 2013; Meyer, 2000），故系统对任意初值x_0渐近稳定且x_k→0。
• 显式幂：A为上三角且对角元互异，递推或对角化可得 A^k = [[0.8^k, 0.3 Σ_{j=0}^{k−1} 0.8^{k−1−j} 0.9^j],[0, 0.9^k]] = [[0.8^k, 0.3 (0.9^k−0.8^k)/(0.9−0.8)],[0, 0.9^k]] = [[0.8^k, 3(0.9^k−0.8^k)],[0, 0.9^k]]。 因0.8^k与0.9^k→0，故A^k→0，x_k = A^k x_0 → 0（Horn & Johnson, 2013）。

题4（证明题；难度：大学本科；场景：面试题库/学术评估） 题干：设A ∈ C^{n×n}。证明：A可对角化当且仅当其极小多项式m_A(t)在C上分解为互不相同的线性因子（即无重根）。 参考证明：

• 必要性：若A可对角化，则A = PDP^{-1}，D为对角矩阵。设A的所有不同特征值为{λ_i}。对角阵满足最小多项式m_D(t)=∏_i (t−λ_i)，因每个对角块的最小多项式为(t−λ_i)，且互相最小公倍数即上述积，显然无重根。相似不改变极小多项式，故m_A(t)无重根（Meyer, 2000）。
• 充分性：若m_A(t)无重根，则A的Jordan标准形中不可能存在大小超过1的Jordan块，否则对应特征值在m_A中至少出现平方因子（Horn & Johnson, 2013）。因此所有Jordan块均为1×1，A与一对角矩阵相似，A可对角化（Axler, 2015; Meyer, 2000）。

题5（简答题；难度：高级；场景：面试题库/学术评估） 题干：给出“对角化/近似对角化”的系统化策略，用于判断A ∈ R^{n×n}是否可对角化并据此高效计算f(A)（例如A^k或exp(A)）。请分步骤说明，并指出不可对角化时的替代方案与数值稳定性注意事项。 答案要点：

• 判别步骤（理论）：
  1. 求谱σ(A)。若在C上有n个互异特征值，则A可对角化（Axler, 2015）。
  2. 对每个λ，计算几何重数g_λ = n − rank(A−λI)。若Σ g_λ = n，则A可对角化；否则不可（Meyer, 2000）。
  3. 等价判据：极小多项式无重根⇔可对角化（题4结论）。
• 构造步骤（可对角化时）：
  1. 组装特征向量基P，D = diag(λ_i)。
  2. 计算f(A) = P f(D) P^{-1}；对幂与指数分别为D^k与exp(D)逐对角元作用（Horn & Johnson, 2013）。
• 不可对角化时：
  1. Jordan策略：A = P J P^{-1}，对Jordan块J = λI + N应用函数的幂级数或封闭式（如J^k = Σ_{i=0}^{s−1} C(k,i) λ^{k−i} N^i），再回代（Horn & Johnson, 2013）。
  2. Schur策略（数值首选）：A = Q T Q^，T为上近三角。用Parlett递推或块方法在T上计算f(T)，再回代f(A)=Q f(T) Q^，避免构造条件数可能很大的P（Trefethen & Bau, 1997; Higham, 2008）。
• 数值注意：
  • Jordan分解高度不稳定，应避免数值上显式求Jordan形（Trefethen & Bau, 1997）。
  • 先做矩阵平衡与实Schur分解以改善稳定性；对exp(A)使用Padé逼近与缩放—平方法（Higham, 2008）。
  • 评估特征向量矩阵P的条件数以判断对角化方法的可信度（Higham, 2008）。

讨论

• 评估目标与区分度：题1检验概念与判别标准；题2检验Jordan现象识别与幂计算；题3评估将谱性质用于动力系统分析的能力；题4考查理论证明素养；题5评估工程/数值语境下的策略意识。
• 评分要点（示例）：
  • 题1：定义准确；给出两个等价对角化判据任一即可；“互异特征值⇒可对角化”的理由完整。
  • 题2：重数与几何重数计算正确；对角化结论依据充分；幂矩阵数值正确。
  • 题3：稳定性判定基于谱半径；A^k闭式推导或引用正确定理均可。
  • 题4：双向论证完整且逻辑自洽，能正确联系Jordan块与极小多项式重根。
  • 题5：给出理论与数值两条路径；提及Schur分解、Parlett递推或Padé/缩放—平方法与稳定性理由。
• 常见误区：将“代数重数等于几何重数”误解为仅需对某个特征值成立；忽略不可对角化时幂矩阵的k因子增长；在数值实现中直接求Jordan形。
• 时间与追问建议（面试）：每题5–12分钟；题3可追问“若存在|λ|=1的Jordan块会否收敛”；题5可追问“何时优选实Schur而非复Schur”与“如何估计P的条件数影响”。
• 适用性：题集适合考察本科高年级至初研层次的线性代数素养与应用意识（Axler, 2015; Horn & Johnson, 2013; Higham, 2008）。

参考文献

Axler, S. (2015). Linear algebra done right (3rd ed.). Springer.

Higham, N. J. (2008). Functions of matrices: Theory and computation. SIAM.

Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2013). Matrix analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.

Meyer, C. D. (2000). Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM.

Strang, G. (2016). Introduction to linear algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.

Trefethen, L. N., & Bau, D., III. (1997). Numerical linear algebra. SIAM.

页码 1

标题页 标题：基于共轭先验的研究生挑战题：Beta–Binomial 与 Gamma–Poisson 的后验推断与预测 作者：— 机构：— 课程与应用场景：学术评估、认证考试、在线考试 日期：2025-11-27

摘要 本文面向研究生层次的学习者与考核者，围绕贝叶斯统计中两类经典共轭族（Beta–Binomial 与 Gamma–Poisson）设计三道高难度评估题（开放性问题、证明题、应用题），并提供完整、可评分的参考解答。这些试题覆盖层次建模、边际似然与经验贝叶斯、后验与后验预测分布、贝叶斯因子、以及不确定性量化等关键能力点，适配学术评估、认证考试与在线考试等场景。技术论证与公式推导遵循标准教材与文献（Bernardo & Smith, 1994; Gelman et al., 2014; Hoff, 2009; Murphy, 2012），并对参数化与记号作出明确说明，以确保评分客观与可重现。

引言 共轭先验提供了在指数族模型中进行闭式后验推断的便利性，是研究生层面的核心能力点之一（Bernardo & Smith, 1994; Gelman et al., 2014）。在二项数据与计数数据的常见应用中，Beta–Binomial 与 Gamma–Poisson 分别给出解析可解的后验与预测分布，并具有良好的直观解释与教学价值（Hoff, 2009; Murphy, 2012）。本稿遵循APA写作规范，面向高阶评估设计三道挑战题并附严谨解答，强调：

• 概念准确：清楚界定先验—后验—预测的关系与参数化；
• 结构完善：题目陈述、假设、目标与评分点明确；
• 应用对接：融合真实决策量化要素（如贝叶斯因子与期望效用）；
• 可操作性：给出可实现的数值步骤或闭式表达，便于实施在线考试。

方法 参数化与记号

• Beta–Binomial：似然为 X|p ∼ Binomial(n, p)；先验 p ∼ Beta(α, β)（α>0，β>0）。后验 p|x ∼ Beta(α+x, β+n−x)。边际似然 m(x|n,α,β)=C(n,x)·B(α+x, β+n−x)/B(α,β)。后验预测（m 次未来试验）为 Beta–Binomial：P(X_new=k|x)=C(m,k)·B(k+α′, m−k+β′)/B(α′,β′)，其中 α′=α+x，β′=β+n−x（Bernardo & Smith, 1994; Gelman et al., 2014）。
• Gamma–Poisson：似然为 Yi|λ ∼ Poisson(λ)。先验 λ ∼ Gamma(a, b)（shape a>0，rate b>0，密度 b^a/Γ(a)·λ^{a−1}e^{−bλ}）。n 个观测后，后验 λ|y ∼ Gamma(a+Σyi, b+n)。单步后验预测为负二项：Y_new ∼ NegBin(r=a′, p=b′/(b′+1))，pmf 为 C(y+r−1, y)·(1−p)^y·p^r；聚合 m 步预测 Y_sum ∼ NegBin(r=a′, p=b′/(b′+m))（Bernardo & Smith, 1994; Hoff, 2009）。

试题陈述（研究生，挑战）

1. 开放性问题（层次 Beta–Binomial 与经验贝叶斯） 设 K 个独立组别 i=1,…,K，每组观测 Xi∼Binomial(ni,pi)。层次先验：pi|α,β ∼ Beta(α,β)，且 (α,β) 未知。 任务： a) 写出组别层的后验 pi|xi,α,β 与数据的边际似然 m(x1:K | n1:K, α,β)。 b) 基于边际似然对 (α,β) 进行经验贝叶斯极大似然（MLE）估计，给出对数边际似然的梯度与海森矩阵的元素（可用 digamma ψ 与 trigamma ψ1）。 c) 设定相同先验均值 μ0=α/(α+β) 而改变浓度 κ=α+β，讨论不同 κ 对每组后验均值 E[pi|xi,α,β] 与后验预测分布的影响，并给出“收缩系数”的解析表达式。 d) 给出第 j 组未来 m 次试验的后验预测分布，并解释其如何体现“部分池化”。

2. 证明题（共轭性、边际似然与预测分布） a) 证明 Beta 是 Binomial 的共轭先验，推导后验与边际似然，并给出后验预测 Beta–Binomial 的闭式表达。 b) 证明 Gamma（shape a，rate b）是 Poisson 的共轭先验，推导 n 个观测后的后验与单步/多步后验预测负二项分布，并给出均值与方差。 要求：在推导中明确使用 Beta 与 Gamma 函数恒等式与其与二项/泊松积分的关系，并说明充分统计量的角色。

3. 应用题（A/B 测试与到达率预测） A/B 点击实验：A 组 nA=1000，xA=62；B 组 nB=1000，xB=75。先验独立且均为 Beta(1,1)。 a) 求 pA 与 pB 的后验，给出 95% 等尾可信区间表达式（用 Beta 分位数表示）。 b) 计算 P(pB>pA | data)。给出两种可评分方法之一：i) 正态近似的闭式近似；或 ii) 蒙特卡洛积分的可复现实操步骤。 c) 比较假设 H0: pA=pB（共同 p，p∼Beta(1,1)）与 H1: pA,pB 独立 Beta(1,1) 的证据，给出贝叶斯因子 BF10 的闭式表达式（用 Beta 函数或对数 Γ 表达），并说明如何进行稳定的数值实现。 到达率预测：某服务台 10 日到达计数 y=(4,0,2,1,3,2,5,1,0,2)，先验 λ∼Gamma(a=2,b=1)。 d) 求后验 λ|y 的形状与参数、均值与方差，并给出 95% 可信区间的表达式（Gamma 分位数表示）。 e) 求单日后验预测分布并写出 P(Y_new>3 | y) 的计算表达式；进一步，给出未来 5 日总到达量的后验预测分布，并表示其均值与方差。

结果（参考解答） 问题 1（开放性问题）参考解答 a) 条件于 (α,β)，每组后验：

• pi | xi,α,β ∼ Beta(α+xi, β+ni−xi)。 数据的边际似然：
• m(x1:K | n1:K, α,β)=∏_{i=1}^K [C(ni,xi)·B(α+xi, β+ni−xi)/B(α,β)]。 b) 对数边际似然（忽略与 α,β 无关常数）：
• ℓ(α,β)=∑_{i=1}^K [log B(α+xi, β+ni−xi) − log B(α,β)]。 梯度（ψ 为 digamma）：
• ∂ℓ/∂α = ∑_{i=1}^K [ψ(α+xi) − ψ(α+β+ni)] − K[ψ(α) − ψ(α+β)]。
• ∂ℓ/∂β = ∑_{i=1}^K [ψ(β+ni−xi) − ψ(α+β+ni)] − K[ψ(β) − ψ(α+β)]。 海森矩阵对角与交叉项（ψ1 为 trigamma）：
• ∂²ℓ/∂α² = ∑_{i} [ψ1(α+xi) − ψ1(α+β+ni)] − K[ψ1(α) − ψ1(α+β)]。
• ∂²ℓ/∂β² = ∑_{i} [ψ1(β+ni−xi) − ψ1(α+β+ni)] − K[ψ1(β) − ψ1(α+β)]。
• ∂²ℓ/∂α∂β = −∑_{i} ψ1(α+β+ni) + K ψ1(α+β)。 可用牛顿–拉夫森迭代并以对数参数（如 log α, log β）或重参数化（μ0, κ）实现稳定性（Gelman et al., 2014）。 c) 后验均值与收缩：
• E[pi | xi,α,β] = (α+xi)/(α+β+ni) = S·μ0 + (1−S)·(xi/ni)，其中 S = κ/(κ+ni) 为收缩系数。 当 κ 大时（强信息先验），S 增大，后验更靠近 μ0；当 κ 小时（弱先验），后验更接近样本比率 xi/ni。后验预测方差同样随 κ 增减而体现“部分池化”的幅度（Bernardo & Smith, 1994）。 d) 第 j 组 m 次未来试验的后验预测：
• X_new,j | data ∼ Beta–Binomial(m, α+ xj, β+nj−xj)，
• P(X_new,j=k | data)=C(m,k)·B(k+α+xj, m−k+β+nj−xj)/B(α+xj, β+nj−xj)。 体现了“组内数据与跨组先验”共同决定预测分布的集中程度。

问题 2（证明题）参考解答 a) Beta–Binomial 共轭与预测：

• 似然：L(p; x,n) ∝ p^x (1−p)^{n−x}。先验：π(p) ∝ p^{α−1}(1−p)^{β−1}。
• 后验：π(p|x) ∝ p^{α+x−1}(1−p)^{β+n−x−1} → Beta(α+x, β+n−x)（共轭性成立）。
• 边际似然： m(x|n,α,β)=∫_0^1 C(n,x) p^x(1−p)^{n−x} · p^{α−1}(1−p)^{β−1} dp = C(n,x) · B(α+x, β+n−x)/B(α,β)。
• 后验预测（m 次）： P(X_new=k|x)=∫ C(m,k) p^k (1−p)^{m−k} · Beta(p; α′,β′) dp = C(m,k) · B(k+α′, m−k+β′)/B(α′,β′)，α′=α+x, β′=β+n−x。 b) Gamma–Poisson 共轭与预测：
• 似然（n 个独立观测）：L(λ; y1:n) ∝ λ^{Σy} e^{−nλ}。
• 先验：π(λ) ∝ λ^{a−1} e^{−bλ}。后验：π(λ|y) ∝ λ^{a+Σy−1} e^{−(b+n)λ} → Gamma(a+Σy, b+n)。
• 单步后验预测： P(Y=y|y1:n)=∫ [e^{−λ} λ^y/y!] · [b′^{a′}/Γ(a′) λ^{a′−1} e^{−b′λ}] dλ = Γ(y+a′)/(y! Γ(a′)) · (b′/(b′+1))^{a′} · (1/(b′+1))^{y}， 即 NegBin(r=a′, p=b′/(b′+1))。均值与方差为 E[Y]=a′(1−p)/p=a′/b′，Var[Y]=a′(1−p)/p²=a′(b′+1)/b′²。
• m 步聚合：Y_sum | y ∼ NegBin(r=a′, p=b′/(b′+m))，E[Y_sum]=m·a′/b′，Var[Y_sum]=m·a′(b′+m)/b′²（Bernardo & Smith, 1994; Hoff, 2009）。

问题 3（应用题）参考解答 A/B 测试（Beta–Binomial） a) 后验与区间：

• pA|data ∼ Beta(1+62, 1+938)=Beta(63, 939)。
• pB|data ∼ Beta(1+75, 1+925)=Beta(76, 926)。
• 95% 等尾区间：pA ∈ [Qβ(0.025;63,939), Qβ(0.975;63,939)]，pB 类似，其中 Qβ 为 Beta 分位数函数（Gelman et al., 2014）。 b) P(pB>pA | data)：
• 正态近似：E[pA]=63/1002≈0.0629，Var[pA]=63·939/[1002²·1003]，E[pB]=76/1002≈0.0758，Var[pB]=76·926/[1002²·1003]。近似 D=pB−pA ∼ Normal(μD, σD²)，μD≈0.0130，σD≈√(Var[pA]+Var[pB])≈0.0113，故 P(D>0)≈Φ(μD/σD)≈Φ(≈1.14)≈0.87。
• 蒙特卡洛：独立采样 pA^(t)∼Beta(63,939), pB^(t)∼Beta(76,926)，估计比例 1/T ∑ I[pB^(t)>pA^(t)]。T≥10^5 可得稳定估计（Gelman et al., 2014）。 c) 贝叶斯因子（H0: pA=pB vs H1: 独立）：
• 在 H1 下：m1 = B(1+xA,1+nA−xA)·B(1+xB,1+nB−xB)/B(1,1)^2（组合系数相消后）。
• 在 H0 下（共同 p∼Beta(1,1)）：m0 = B(1+xA+xB, 1+nA+nB−xA−xB)/B(1,1)。
• 因此 BF10 = m1/m0 = [B(1+xA,1+nA−xA)·B(1+xB,1+nB−xB)] / B(1+xA+xB, 1+nA+nB−xA−xB)。 数值实现建议用 log Γ：log B(u,v)=log Γ(u)+log Γ(v)−log Γ(u+v)，以避免下溢（Murphy, 2012）。

到达率预测（Gamma–Poisson） d) 后验：

• Σy=20，n=10；先验 a=2, b=1 → 后验 a′=22, b′=11。
• E[λ|y]=a′/b′=22/11=2，Var[λ|y]=a′/b′²=22/121≈0.1818。
• 95% 区间：λ ∈ [Qγ(0.025; shape=22, rate=11), Qγ(0.975; shape=22, rate=11)]，Qγ 为 Gamma 分位数函数。 e) 后验预测：
• 单日：Y_new ∼ NegBin(r=22, p=11/12)。P(Y_new>3)=1−∑_{k=0}^3 C(k+21,k) (1/12)^k (11/12)^{22}（建议用对数求和或直接调用负二项尾概率）。
• 未来 5 日总量：Y_sum ∼ NegBin(r=22, p=11/(11+5))=NegBin(22, 11/16)。E[Y_sum]=5·a′/b′=10，Var[Y_sum]=5·a′(b′+5)/b′²=5·22·16/121≈14.545。

讨论 本组试题遵循高阶贝叶斯评估的行业规范：概念覆盖完整、参数化明确、可评分要点清晰（例如显式给出后验、边际似然、预测分布与数值稳定实现建议），并与真实决策量化（贝叶斯因子、概率比较与预测分布）相衔接（Gelman et al., 2014）。开放性问题强调建模与超参数学习（含 digamma/trigamma 梯度与收缩效应）；证明题强化理论功底与积分技巧；应用题则检验将理论落地到 A/B 测试与到达预测的能力。评分建议：

• 正确性（核心公式与参数更新 50%）；
• 推导完整性与符号规范（25%）；
• 数值实现与稳定性说明（15%）；
• 讨论与解释（10%）。 在线考试可允许给出函数接口（如 log Γ、Beta/Gamma 分位数），确保可重复且公正。潜在变式包括引入超先验实现完全贝叶斯层次推断，或考察先验敏感性与稳健化策略（Gelman et al., 2014; Bernardo & Smith, 1994）。

参考文献 Bernardo, J. M., & Smith, A. F. M. (1994). Bayesian theory. Wiley. Gelman, A., Carlin, J. B., Stern, H. S., Dunson, D. B., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2014). Bayesian data analysis (3rd ed.). CRC Press. Hoff, P. D. (2009). A first course in Bayesian statistical methods. Springer. Murphy, K. P. (2012). Machine learning: A probabilistic perspective. MIT Press.