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\documentclass[12pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,mathtools,bm}
% 常用记号 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
\title{方法(凸优化与KKT条件示例)} \author{} \date{}
\begin{document} \maketitle
\section{方法} 本文示例采用凸优化框架与KKT条件。记号说明:$\bm{A}\in\R^{m\times n}$、$\bm{b}\in\R^{m}$、$\bm{C}\in\R^{p\times n}$、$\bm{d}\in\R^{p}$、$\bm{E}\in\R^{q\times n}$、$\bm{h}\in\R^{q}$,决策变量为$\bm{x}\in\R^{n}$,正则参数$\lambda>0$,不等式对偶变量$\bm{\mu}\in\R_+^{p}$,等式对偶变量$\bm{\nu}\in\R^{q}$。需要时,用$\E[\cdot]$表示数学期望(例如考虑随机噪声时将目标替换为期望风险)。
% 凸优化问题:稀疏正则 + 线性约束 下面给出带稀疏正则与线性约束的凸最优化问题: \begin{equation} \label{eq:prob} \min_{\bm{x}\in\R^n};\frac{1}{2},\norm{\bm{A}\bm{x}-\bm{b}}_2^2 ;+; \lambda,\norm{\bm{x}}_1 \quad\text{s.t.}\quad \bm{C}\bm{x}\le\bm{d},;; \bm{E}\bm{x}=\bm{h}. \end{equation}
% 拉格朗日函数 对应的拉格朗日函数为: \begin{equation} \label{eq:lagr} L(\bm{x},\bm{\mu},\bm{\nu}) = \frac{1}{2},\norm{\bm{A}\bm{x}-\bm{b}}_2^2 + \lambda,\norm{\bm{x}}_1
% KKT 条件 该问题的KKT条件(充分且在适当的正则性条件下必要)包括: \begin{align} \label{eq:kkt} \text{(stationarity)}\quad & \bm{0} \in \bm{A}^\top(\bm{A}\bm{x}-\bm{b}) ;+; \lambda,\partial\norm{\bm{x}}_1 ;+; \bm{C}^\top\bm{\mu} ;+; \bm{E}^\top\bm{\nu}, \[0.25em] \text{(primal feasibility)}\quad & \bm{C}\bm{x}\le\bm{d},;; \bm{E}\bm{x}=\bm{h}, \[0.25em] \text{(dual feasibility)}\quad & \bm{\mu}\ge\bm{0}, \[0.25em] \text{(complementarity)}\quad & \mu_i,\big(\bm{C}\bm{x}-\bm{d}\big)_i = 0,\quad i=1,\dots,p. \end{align}
% Huber 损失 为鲁棒回归常用的Huber损失,其分段定义为: \begin{equation} \label{eq:huber} \rho_\delta(t) = \begin{cases} \frac{1}{2},t^2, & |t|\le \delta,\[0.25em] \delta\big(|t| - \frac{\delta}{2}\big), & |t| > \delta, \end{cases} \end{equation} 例如取$\delta=1$,则$\rho_1(0.5)=\tfrac{1}{2}\cdot 0.5^2=0.125$,$\rho_1(2)=1\cdot(2-\tfrac{1}{2})=1.5$。
\end{document}
下面给出一个可直接编译的 article 类最小示例,包含 booktabs、siunitx、threeparttable,使用 S 列对齐数值并四舍五入保留两位小数。每个数据集内各指标的最优值已加粗,表注说明了评价指标的意义,并通过 threeparttable 添加了脚注(评测划分与硬件信息)。
% 编译:xelatex 或 pdflatex 均可 \documentclass[12pt]{article}
% 专业表格线 \usepackage{booktabs}
% 数值对齐与格式控制 \usepackage{siunitx} \sisetup{ round-mode=places, round-precision=2, detect-weight=true, % 检测加粗等字重变化,保证对齐 detect-family=true % 检测字体族变化 }
% 表格三段式(标题、主体、注释) \usepackage{threeparttable}
\usepackage[a4paper,margin=1in]{geometry}
\begin{document}
\begin{table}[t] \centering \begin{threeparttable} % 说明类目与标签 \caption{实验结果对比} \label{tab:results}
% 使用 S 列对齐数字;为不同指标设置合适的 table-format 宽度
% - Accuracy/F1 取值常在 [0,100],用 3.2(最多 3 位整数 + 2 位小数)
% - Params(M) 通常 <100,用 2.2
% - Time(ms) 用 3.2
\begin{tabular}{
l l
S[table-format=3.2]
S[table-format=3.2]
S[table-format=2.2]
S[table-format=3.2]
}
\toprule
Dataset & Model &
\multicolumn{1}{c}{Accuracy(\%)} &
\multicolumn{1}{c}{F1(\%)} &
\multicolumn{1}{c}{Params(M)} &
\multicolumn{1}{c}{Time(ms)} \\
\midrule
% D-Text:每列最优加粗(使用 \bfseries,siunitx 可检测字重;也可写 \textbf{...})
D-Text & Baseline & 88.23 & 85.90 & {\bfseries 14.20} & 6.80 \\
& Improved & 90.12 & 88.45 & 16.70 & 7.10 \\
& Ours & {\bfseries 92.35} & {\bfseries 90.58} & 15.90 & {\bfseries 6.50} \\
\midrule
% D-Vision
D-Vision & Baseline & 75.45 & 73.22 & 28.70 & 12.40 \\
& Improved & 78.90 & 76.05 & {\bfseries 26.30} & 11.80 \\
& Ours & {\bfseries 81.26} & {\bfseries 79.40} & 27.50 & {\bfseries 10.90} \\
\midrule
% D-Audio
D-Audio & Baseline & 82.10 & 80.48 & 12.00 & 4.20 \\
& Improved & 84.05 & 82.90 & {\bfseries 10.80} & 4.00 \\
& Ours & {\bfseries 86.72} & {\bfseries 85.33} & 11.10 & {\bfseries 3.70} \\
\bottomrule
\end{tabular}
% 表注:说明评价指标与实验环境
\begin{tablenotes}
\footnotesize
\item Accuracy/F1↑ 越大越好,Params/Time↓ 越小越好。
\item 评测在各数据集的官方验证/测试划分上进行;硬件环境为单卡 GPU,batch=32。
\end{tablenotes}
\end{threeparttable} \end{table}
\end{document}
关键设置说明:
下面给出一份可直接用 XeLaTeX 编译的中文书籍章节文档骨架(ctexbook 类),满足你提出的排版与结构要求。已尽量使用最少必要宏包,并用中文注释说明便于复用与扩展。
% !TEX program = xelatex
\documentclass[UTF8]{ctexbook} % 中文书籍类,XeLaTeX 编译
% ========== 版式与基础设置 ==========
\usepackage[a4paper, left=3cm, right=3cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm]{geometry} % A4 边距
\usepackage{setspace} % 行距控制
\setstretch{1.2} % 行距 1.2
% 数学与定理环境
\usepackage{amsmath, amsthm} % 公式与定理
\numberwithin{equation}{section} % 方程按节编号
% 页眉页脚
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} % 清空默认
% 页眉:奇偶页分别在外侧显示页码,内侧显示章标题
\fancyhead[LE,RO]{\thepage}
\fancyhead[LO,RE]{\nouppercase{\leftmark}} % 显示章标题,不全大写
\setlength{\headheight}{14pt} % 防止页眉高度不足的警告
% 超链接(彩色)
\usepackage{xcolor}
\definecolor{ThemeBlue}{RGB}{33,150,243} % 主题蓝(Material Blue 500)
\usepackage[colorlinks=true, linkcolor=ThemeBlue, anchorcolor=ThemeBlue, citecolor=ThemeBlue]{hyperref}
% 目录深度
\setcounter{tocdepth}{2} % 显示到小节
% ========== 定理环境(中文题头) ==========
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
\renewcommand{\proofname}{证明} % amsthm 的 proof 环境题头改为“证明”
% ========== 文档开始 ==========
\begin{document}
% 封面
\title{概率图模型基础与实践}
\author{张三}
\date{\today}
\maketitle
% 前言部分(页码用罗马数字)
\frontmatter
\tableofcontents
% 正文部分(页码用阿拉伯数字)
\mainmatter
\chapter{概率图模型导论}
\section{基本概念}
概率图模型(Probabilistic Graphical Models, PGM)通过图结构表达随机变量之间的条件独立关系,典型形式包括有向图的贝叶斯网络与无向图的马尔可夫随机场。更系统的阐述可参考文献\cite{Koller2009PGM, Murphy2012ML}。本章包含若干示例元素,便于交叉引用,如“见定理\ref{thm:consistency}”、图\ref{fig:pgm} 与表\ref{tab:example}。
\subsection{贝叶斯网络}
贝叶斯网络以有向无环图(DAG)建模联合分布,满足
\begin{equation}\label{eq:bn-factorization}
p(\mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n p\bigl(X_i \mid \mathrm{Pa}(X_i)\bigr),
\end{equation}
其中 $\mathrm{Pa}(X_i)$ 表示结点 $X_i$ 的父结点集合。式\eqref{eq:bn-factorization}展示了基于图结构的分解。
\subsection{马尔可夫随机场}
马尔可夫随机场以无向图刻画变量之间的团势函数,通过归一化得到联合分布。其条件独立性可由图分离性质给出。
\section{推断与学习}
\subsection{精确推断}
在树形结构上,可用消息传递进行线性时间的精确推断。对于一般图,常需图分解或变量消除。
\subsection{近似推断}
近似方法包括变分推断与采样方法(如MCMC)。下面给出一个示例定理。
\begin{theorem}[一致性]\label{thm:consistency}
在模型可辨识、且数据独立同分布来源于真实分布的条件下,极大似然估计(MLE)随样本量增大收敛到真实参数(即具有一致性)。
\end{theorem}
\begin{proof}
证明思路基于大数定律与对数似然的极限性质,结合可辨识性给出极限点唯一性。严格证明可参考经典统计学习理论文献,本文略。
\end{proof}
定理\ref{thm:consistency}为学习方法提供了理论保证。
% ========== 图(占位方框) ==========
\begin{figure}[htbp]
\centering
% 简单占位框:高 60mm,宽 0.8\textwidth
\fbox{\rule{0pt}{60mm}\rule{0.8\textwidth}{0pt}}
\caption{概率图模型示意图(占位)}
\label{fig:pgm}
\end{figure}
如图\ref{fig:pgm}所示,图结构刻画了变量之间的条件独立关系。
% ========== 表(2×2 示例) ==========
\begin{table}[htbp]
\centering
\caption{2×2 示例表(如二分类的混淆矩阵)}
\label{tab:example}
\begin{tabular}{c|cc}
\hline
& 正例 & 负例 \\
\hline
预测为正 & a & b \\
预测为负 & c & d \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
表\ref{tab:example}给出了一个常用的2×2结构示例。
% ========== 参考文献(示例) ==========
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Koller2009PGM}
Daphne Koller and Nir Friedman.
Probabilistic Graphical Models: Principles and Techniques.
MIT Press, 2009.
\bibitem{Murphy2012ML}
Kevin P. Murphy.
Machine Learning: A Probabilistic Perspective.
MIT Press, 2012.
\end{thebibliography}
\end{document}
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