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| 主题 | 关键要点 | 典型结论/公式 | 适用条件 | 易错提醒 |
|---|---|---|---|---|
| 极限定义 | 左/右极限一致才有整体极限 | lim(x→a) f(x) 存在 ⇔ lim(x→a−) = lim(x→a+) | 需明确自变量逼近方向 | 只看一侧或直接代入判断 |
| 等价无穷小 | 用已知等价替换提升计算效率 | sin x ~ x;ln(1+x) ~ x(x→0) | 仅在趋近点附近(x→0)有效 | 离开“趋近点”滥用等价关系 |
| 基本极限 | 常用标准极限作为枢纽 | lim(x→0) sin x/x = 1;lim(n→∞)(1+1/n)^n = e | 前者需角度弧度制 | 把角度制当弧度;忽略序列/变量范围 |
| 连续判定 | 三步法:极限→函数值→比较 | 连续:lim(x→a) f(x) = f(a) | 分段须检查端点与拼接点 | 忽视分段定义、只算极限不看 f(a) |
| 间断类型 | 分类便于修正与理解 | 可去/跳跃/无穷间断 | 根据极限存在性与值的大小判断 | 把可去间断当不连续不可修复 |
| 导数定义 | 变化率与切线斜率统一 | f'(a) = lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h | 极限存在才可导 | 在尖点/拐角处误判可导 |
| 运算法则 | 组合函数的求导骨架 | (fg)'=f'g+fg';(f/g)'=(f'g−fg')/g^2;链式:(f∘g)'=f'(g)·g' | 函数可导且分母不为零 | 链式法则漏“外层导数” |
| 常见导数 | 基本函数的速记 | (e^x)'=e^x;(ln x)'=1/x;(sin x)'=cos x;(cos x)'=−sin x | 需在定义域内 | 对 ln x 在 x≤0 误用 |
| 极值判别 | 一阶找点,二阶判类型 | f'(x)=0 得候选点;f''(x)>0 极小,<0 极大 | f''=0 需另行分析 | 仅靠 f'' 判定,忽略邻域行为 |
预热(30–45分钟)
极限巩固(45–60分钟)
连续性判定(30–45分钟)
导数与法则(45–60分钟)
应用:极值与图像(45–60分钟)
周末复盘(60–90分钟)
建议用上述资源查阅“等价无穷小”“链式法则”专题,并对照本周错题进行针对性练习。
标注的难点建议重点复习:三角恒等式辅助极限、二阶判别的适用性、链式法则的外层/内层衔接。
| 主题 | 概念/条目 | 关键点 | 例证/线索 | 易错警示 |
|---|---|---|---|---|
| 海防与财政失衡 | 结构性原因 | 海防成本暴增与财政税基不匹配;白银外流削弱货币与税收稳定 | 茶丝瓷贸易+鸦片走私导致银流方向逆转 | 不可仅归因于“腐败”或单一战败 |
| 贸易格局 | 白银回流与走私 | 合法贸易依赖银回流;鸦片走私侵蚀关税与盐务、扰乱市场 | 私商、投机与港口监管薄弱 | 忽视非法贸易对制度的长期侵蚀 |
| 军事差距 | 技术与体系 | 蒸汽舰、火器革新;后勤、测绘、通信的系统化 | 海上火力与机动性优势 | 仅关注武器而忽视组织与后勤 |
| 关键概念 | 主权/法权/税权 | 主权涵盖领土、法权、税权;法权是治外法权核心;税权是关税自主的体现 | 条约中固定税率与领事裁判权条款 | 将“主权”仅等同于领土 |
| 时间线 | 1839–1842 | 禁烟→战争→要地失守→《南京条约》 | 节点串联因果关系 | 机械记忆年份而不理解因果 |
| 条约要点 | 赔款/口岸/关税/割地 | 设定赔款;开放口岸与驻领事;关税标准化削弱自主权;割地与法权雏形 | 南京条约+后续条约完善治外法权与MFN | 误以为南京条约已完整包含全部不平等条款 |
| 外交话语 | “贸易自由”“通商安全” | 以自由贸易与安全为正当化话术,推动制度让渡 | 外交照会常用语汇 | 将话语视为事实而非策略 |
| 体系化影响 | 条约连锁 | 最惠国待遇使权益扩散;各国通过后续条约叠加特权 | 连锁扩张—复制—加码 | 忽视制度网络的复合效应 |
提示:检索时优先选取原始条约文本、海关年报、外交照会与学术评论,形成“文本—数据—评论”三角互证。
| 知识点 | 关键特性 | 常见操作 | 时间复杂度(均摊/平均) | 典型场景 | 易错/难点提示 |
|---|---|---|---|---|---|
| list(动态数组) | 可变、有序、按索引 | 索引访问/赋值、append、pop末尾、insert/delete中间 | 访问O(1)、append均摊O(1)、中间插删O(n)、in O(n) | 栈、顺序收集、批量构建后再排序 | 用作队列会退化为O(n)(前端操作);迭代中修改元素位置需谨慎 |
| tuple(不可变序列) | 不可变、可哈希(当内部元素可哈希) | 索引访问、解包 | 访问O(1)、in O(n) | 作为字典键、返回多值 | 嵌套含list会导致不可哈希;不可变并不意味内部对象不可变 |
| dict(哈希表) | 键唯一、插入顺序保留(3.7+) | get/set、in(键)、pop | 查改平均O(1)、遍历O(n) | 两数之和查找、缓存、映射关系 | 键需实现稳定哈希与相等;修改时遍历字典结构需避免并发改动 |
| set(哈希集合) | 去重、无序(显示顺序为插入序但不用于排序) | add、remove、in、集合运算 | 成员测试平均O(1)、遍历O(n) | 去重、存在性判断 | 元素必须可哈希;集合运算返回新集合注意拷贝开销 |
| frozenset | 不可变集合、可哈希 | 成员测试、集合运算 | 同 set | 作为dict键、常量集合 | 不可修改;适合配置常量 |
| deque(双端队列) | O(1)双端操作 | append、appendleft、pop、popleft | 端操作O(1)、随机访问O(n) | 队列、滑动窗口、BFS | 切片和随机索引不高效;与list分工明确 |
| heapq(最小堆) | 部分有序结构 | heappush、heappop、heapify、nlargest/nsmallest | push/pop O(log n)、构堆O(n) | 优先队列、Top-K、流数据选取 | Python为最小堆;Top-K时用大小为k的堆可降至O(n log k) |
| Counter | 频次统计映射 | 计数、most_common、元素更新 | 计数O(n)、most_common取前k约O(n + k log n) | 词频、事件计数 | large n时most_common可能排序全量;考虑堆优化 |
| BFS 模式 | 分层扩展、最短步数 | 队列入队/出队、访问标记、距离记录 | 每边/点处理O(1),总O(V+E) | 最短路径(无权)、连通性 | 标记访问的时机应在入队或发现邻接时(避免重复) |
备注:标注为“难点”的条目建议反复练习与代码走查,优先配合小规模单元测试验证理解与行为。
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