统计测试假设清单

以下为常见均值类 t 检验的关键假设。请根据具体设计选择相应版本并核查假设是否满足。

一、通用假设（适用于所有 t 检验）
- 随机性与独立性：样本来自适当的随机抽样/随机分配。观测值在适用单元间相互独立（配对设计除外，见下）。
- 测量尺度：响应变量为连续或近似连续的区间尺度。
- 近似正态性：
  - 单样本/两独立样本：总体分布（或均值的误差项）近似正态；样本量较大时对轻微偏离正态较稳健，但对重尾/强偏/离群值不稳健。
  - 配对样本：配对差值的分布近似正态。
- 无严重离群值：t 检验对极端值敏感，应事先识别与处理。
- 正确的分组与设计：组别定义清晰、无交叉污染；配对/匹配关系正确建立。

二、按检验类型的特定假设
- 单样本 t 检验：
  - 观测值独立同分布。
  - 总体（或误差）近似正态，或样本量足以使均值近似正态。
- 配对样本 t 检验：
  - 每对内的两个观测成对相关；不同配对之间独立。
  - 配对“差值”独立且近似正态。
- 两独立样本 t 检验（Student’s t，合并方差）：
  - 两组独立抽样、组内观测独立。
  - 两组总体近似正态。
  - 方差齐性：两组总体方差相等（σ1² = σ2²）。
- 两独立样本 Welch t 检验（不等方差）：
  - 两组独立抽样、组内观测独立。
  - 两组总体近似正态。
  - 不要求方差相等（对方差不齐更稳健）。

三、实践备注（简要）
- 诊断建议：QQ 图/正态性检验（如 Shapiro-Wilk，用于小样本）、方差齐性检验（Levene/Brown–Forsythe）、箱线图与标准化残差查离群。
- 违背假设时的对策：
  - 方差不齐：优先使用 Welch t。
  - 非正态且样本小或存在重尾/离群：考虑变换（对数等）、稳健 t（如截尾均值检验）、非参数检验（配对：Wilcoxon 符号秩；独立：Mann–Whitney）、置换检验或自助法置信区间。

要点：独立性与设计正确性为首要；正态性针对均值的误差或差值分布；两独立样本的“是否要求方差齐性”取决于选择 Student’s 还是 Welch t。

Key assumptions for ordinary least squares (OLS) linear regression

Core model assumptions (needed for unbiasedness/consistency)
- Linearity in parameters and additive errors: The expected response is a linear combination of predictors; the error term adds to the mean structure (e.g., Y = Xβ + ε).
- Correct specification (no omitted relevant variables, correct functional form): The model includes all predictors that drive the outcome and uses appropriate transformations; otherwise, estimates can be biased.
- Random sampling and independence of observations: Data are drawn independently from the population. For time series or clustered data, independence is replaced by “no serial correlation” or independence within clusters conditional on X.
- Exogeneity (zero conditional mean): E[ε | X] = 0. Predictors are not correlated with the error term. This is the key requirement for unbiased and consistent OLS estimates.
- No perfect multicollinearity: Predictors are not exact linear combinations of each other; the design matrix has full column rank.

Assumptions for efficiency and standard (non-robust) inference
- Homoscedasticity: Var(ε | X) is constant. Violations (heteroscedasticity) do not bias OLS coefficients but invalidate conventional standard errors and reduce efficiency.
- No autocorrelation of errors: Cov(εi, εj | X) = 0 for i ≠ j. Violations (e.g., in time series) affect inference and efficiency.
- Normality of errors (optional, for exact small-sample tests): ε | X is normally distributed. Not required for unbiasedness; needed for exact t/F tests and small-sample confidence intervals. With large samples, inference relies on asymptotic normality and is less sensitive to non-normality.

Data quality and identifiability assumptions (often implicit but essential)
- Predictors measured without error (or measurement error is negligible): Classical OLS assumes X is measured accurately; errors-in-variables cause biased (typically attenuated) estimates.
- Sufficient variation in predictors and absence of near-collinearity: Predictors must vary and not be highly collinear to yield stable, interpretable estimates.

Context-specific additions (when applicable)
- Time series: Weak/strict exogeneity, stationarity or stability of the process, and no serial correlation in errors conditional on X.
- Panel/clustered data: Independence across clusters, appropriate handling of within-cluster correlation (e.g., clustered SE).

Bottom line
- For unbiased OLS estimates: linearity, correct specification, random sampling/independence, exogeneity, and no perfect multicollinearity.
- For valid conventional inference: add homoscedasticity and no autocorrelation; normality is needed only for exact small-sample tests. Robust or cluster-robust methods can relax homoscedasticity and independence assumptions for inference.

卡方检验的关键假设与前提

通用
- 数据类型：基于分类数据的“频数”（计数），每个观测只能归入一个且仅一个类别；类别应互斥且穷尽。
- 抽样与独立性：样本来自随机抽样或随机分配；观测之间相互独立。不存在配对、重复测量或群集相关；若存在复杂抽样/群集，应使用设计校正（如 Rao–Scott 修正）或相应模型。
- 渐近近似有效性（期望频数要求）：在原假设下，各单元格的期望频数应足够大。常用判据：
  - 传统规则：所有期望频数≥5；
  - 宽松规则：≤20%的单元格期望频数<5，且无期望频数<1。
  若不满足，考虑合并类别、增大样本量、使用精确检验（如 Fisher）或蒙特卡罗方法。
- 固定分类方案：类别（行/列）在分析前预先定义，不应据数据事后调整；无结构性零（若有，需要专门处理/建模）。
- 计量一致性：使用原始计数而非比例/百分比；若只提供比例，需同时提供样本量以还原计数。

拟合优度检验（单维，检验样本是否来自给定分布）
- 原假设的类别概率已明确给定；若从样本估计了 m 个分布参数，需相应调整自由度（df = k − 1 − m）。
- 样本来自同一总体，满足多项分布框架和独立性。

列联表检验（独立性/同质性）
- 独立性检验：来自同一样本，按两个（或多个）分类变量进行交叉分类；样本内观测独立。
- 同质性检验：来自多个相互独立的样本/总体，比较其分类分布；各样本内独立，样本间也独立。
- 研究设计与边际：边际总数的确定应与所选检验类型一致（独立性 vs 同质性），但不作为分布近似的额外假设。

注意
- 对于2×2配对数据（非独立），不应用常规卡方检验，应使用 McNemar 检验。
- 当期望频数过小或存在稀疏表格，优先考虑 Fisher 精确检验、合并类别、或采用似然比卡方（G 检验）/蒙特卡罗方法；复杂抽样应进行设计效应调整。