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Nov 27, 2025更新

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答案标题:二次函数配方法与不等式证明综合题解

答案主体

  • 第一部分:背景与核心概念

    • 二次函数与顶点:设二次函数 f(x)=ax^2+bx+c,且 a>0,则其图像为开口向上的抛物线,最小值在顶点处取得。顶点横坐标为 x=−b/(2a),最小值为 f_min=c−b^2/(4a)。
    • 配方法:通过将二次项与一次项合并成完全平方来化简,常用形式为 ax^2+bx+c=a(x+ b/(2a))^2 + (c − b^2/(4a))。
    • 基本不等式:任意实数 y 有 y^2≥0,且等号当且仅当 y=0。
    • 柯西—施瓦兹不等式(二维):(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2) ≥ (u_1v_1+u_2v_2)^2;等号当且仅当 (u_1,u_2) 与 (v_1,v_2) 成比例。
  • 第二部分:分步解答

    1. 用配方法求 f(x)=x^2−4x+5 的最小值及取得该值的 x

      • 配方:x^2−4x+5=(x^2−4x+4)+1=(x−2)^2+1。
      • 由于 (x−2)^2≥0,对任意 x,有 f(x)≥1。
      • 当且仅当 x−2=0(即 x=2)时,(x−2)^2=0,故取得最小值。
      • 结论:f 的最小值为 1,且在 x=2 处取得。
    2. 证明对任意实数 x,有 x^2−4x+5≥1,并指出等号成立条件

      • 由上式配方:x^2−4x+5=(x−2)^2+1。
      • 因为 (x−2)^2≥0,故 x^2−4x+5≥1。
      • 等号成立条件为 (x−2)^2=0,即 x=2。
      • 结论:对任意 x∈R,有 x^2−4x+5≥1,且当且仅当 x=2 时取等号。
    3. 设实数 a,b 满足 a^2+b^2=10,求 2a+2b 的最大值,并给出严格证明

      • 目标量:2a+2b=2(a+b),等价于先求 a+b 的最大值。
      • 用柯西—施瓦兹不等式(取向量 (u_1,u_2)=(1,1),(v_1,v_2)=(a,b)):
        (1^2+1^2)(a^2+b^2) ≥ (1·a+1·b)^2 ⇒ 2·(a^2+b^2) ≥ (a+b)^2。
        代入 a^2+b^2=10,得 (a+b)^2 ≤ 20 ⇒ a+b ≤ √20=2√5。
      • 因此 2a+2b ≤ 2·(2√5)=4√5。
      • 等号条件:柯西等号当且仅当 (a,b) 与 (1,1) 成比例,即 a=b。由 a^2+b^2=10 可得 2a^2=10 ⇒ a^2=5 ⇒ a=±√5,b=±√5。
        • 当 a=b=√5 时,2a+2b=4√5,达到最大;
        • 当 a=b=−√5 时,2a+2b=−4√5,为最小。
      • 结论:在约束 a^2+b^2=10 下,2a+2b 的最大值为 4√5,且当且仅当 a=b=√5 时取到。
    4. 设参数 t∈R,定义 g(x)=x^2−2tx+t^2+1。求 g(x) 的最小值关于 t 的表达式,并指出最小值达到时 x 与 t 的关系

      • 配方:x^2−2tx+t^2=(x−t)^2,故 g(x)=(x−t)^2+1。
      • 因 (x−t)^2≥0,对任意 t,g(x)≥1。
      • 当且仅当 x−t=0(即 x=t)时取到最小值。
      • 结论:g 的最小值为 1(与 t 无关),且在 x=t 处取得。
  • 第三部分:总结

    • 通过配方法可将二次函数化为“平方项 + 常数”,从而直接读出最小值与等号条件;本题中 f(x) 与 g(x) 的平方项分别为 (x−2)^2 与 (x−t)^2,最小值均为常数 1,对应等号在平方项为 0 时成立。
    • 在含有二次约束的线性目标极值问题中,可使用柯西—施瓦兹不等式将线性和 a+b 上界化;等号条件与向量成比例关系联动,给出最优点的结构(本题为 a=b)。
    • 归纳结论:
      • (1) f_min=1,x=2;
      • (2) x^2−4x+5≥1,等号当且仅当 x=2;
      • (3) max(2a+2b)=4√5,等号当且仅当 a=b=√5;
      • (4) g_min(t)=1,最小时 x=t。
  • 答案标题:老巷记忆与城市更新的张力——在便利与坐标之间

  • 答案主体:

    • 第一部分:问题背景与核心概念

      • 背景:文本以“清晨的老巷”为起点,描写城市更新前后生活景象的差异,通过对比、拟人、比喻等手法,表达对速度与统一化背后记忆与身份坐标被侵蚀的忧虑。
      • 核心概念:城市记忆与个体坐标;更新与便利的张力;老巷的生活留白与人情温度。
    • 第二部分:逐步解答

      1. 概括作者的核心观点与情感态度

        • 要点提炼:
          • 观点:城市更新带来便利,但统一化、加速化正在抹去老巷的生活质感与城市记忆,令人失去“辨认自身的坐标”。
          • 态度:珍惜、眷恋老巷的生活留白与温度;对更新保持理性与审慎的担忧,而非全面反对。
        • 依据句:
          • “搬来新城区的人,说那不过是‘老气’,但我知道,那是一种慢慢被抹去的注脚。”
          • “老巷把生活写得粗线条,却能在最平凡处给人留白。”
          • “城市更新的速度像风……人们走得更快,也更不愿停留。”
          • “我并不反对便利,只是担心我们失去辨认自身的坐标。”
      2. 结合“对比”“拟人”等手法举例说明其表达作用

        • 要点提炼:
          • 对比:老巷的温润细节与新城区的统一规范并置,突出多样性与人情感的被消解,强化主题的批评性。
          • 拟人:赋予老巷生命感与书写能力,增强画面生动与情感温度,使读者产生共鸣与怜惜。
        • 依据句与作用说明:
          • 对比示例:“早餐摊的铝锅在水汽里发亮,石板路渗出的潮气像一封旧信” vs “墙面被重新涂成统一的颜色,招牌换上了规范的尺寸。”作用:凸显更新后的秩序化与冷硬感,对照出旧巷的质感与记忆承载力。
          • 对比示例:“街口那棵槐树不见了,取而代之的是一段光滑的扶手。”作用:强调自然、人情标识被替换为标准设施,象征身份坐标被替代。
          • 拟人示例:“清晨的老巷,总要被第一缕蒸汽轻轻推醒。”作用:将空间人格化,营造温柔日常的起点,传递眷恋与怜惜。
          • 拟人示例:“老巷把生活写得粗线条,却能在最平凡处给人留白。”作用:以“老巷”作“写”的主体,突出其包容与生成意义,表达对生活弹性的珍视。
      3. 分析“记忆像被拧紧的螺丝”这一比喻的含义与情感指向

        • 要点提炼:
          • 含义:记忆由松散多元的生活碎片被“拧紧”为统一、标准、固定的形态,失去弹性与个体差异。
          • 指向:对加速更新、规范化挤压个体与城市记忆的忧惧与哀伤;提醒记忆被“锁死”后人们更不愿停留与回望。
        • 依据句:
          • “记忆像被拧紧的螺丝,开始失去松动的余地。”
          • “人们走得更快,也更不愿停留。”
          • “城市更新的速度像风……我并不反对便利,只是担心我们失去辨认自身的坐标。”
      4. 指出文本的结构特点(如时间顺序与议论夹叙),并说明其作用

        • 要点提炼:
          • 时间顺序:由“清晨的老巷”起笔,先写早晨具体场景,再转入当前更新状态,形成时间与情感的推进。
          • 议论夹叙:在细致描写中嵌入判断与担忧,叙事与议论并行,既有画面感又有思想深度。
          • 对比并置的段落结构:前段侧重温润生活景象,后段聚焦统一化与速度,形成强烈主题张力。
        • 依据句与作用说明:
          • 时间起笔:“清晨的老巷,总要被第一缕蒸汽轻轻推醒。”作用:由晨景入文,铺垫情感基调。
          • 转入现状:“城市更新的速度像风……”作用:由景入议,推动到总体反思与批评。
          • 明确议论:“我并不反对便利,只是担心我们失去辨认自身的坐标。”作用:点题主题,提升思想层次。
          • 两段对照:第一段写“留白”“旧信”;第二段写“统一的颜色”“规范的尺寸”,作用:通过结构并置突出冲突与主题。
      5. 为本文拟两个标题,并分别用一句话说明理由

        • 标题一:老巷与坐标
          • 理由:直接提取文中“老巷”“坐标”两大关键词,概括老巷的记忆功能与对身份辨认的担忧。
        • 标题二:风中的注脚
          • 理由:综合“城市更新的速度像风”与“慢慢被抹去的注脚”,点明更新速度下传统生活细节被消隐的主题。
    • 第三部分:考点与常见错点归纳

      • 核心考点:
        • 观点态度提炼:从关键判断句与对比段落中抽取“便利/更新—记忆/坐标”的张力,避免简单化。
        • 修辞分析:明确手法(对比、拟人、比喻),给出文本例句,并阐明“如何强化主题与情感”的作用。
        • 比喻解读:厘清本体(记忆)、喻体(拧紧的螺丝)、指向(失去弹性与差异),联系语境与主题。
        • 结构意识:识别“由景入议”的夹叙夹议与段落对比并置,说明增强说服力与情感张力的功能。
        • 拟题能力:抓关键词与主旨,做到凝练、贴切、富含意蕴。
      • 常见错点:
        • 态度误判:将作者“担心”误读为“反对一切便利”,忽视“我并不反对便利”这一限定。
        • 修辞空泛:只标注手法而不结合文本说明作用,或将比喻错认成拟人。
        • 比喻偏解:把“拧紧的螺丝”误解为记忆加强,而非“失去松动余地”的收紧与僵化。
        • 结构忽略:只看描写而不指出后文议论与对比的作用,导致主题把握不牢。
        • 拟题跑偏:标题文采堆砌但不贴主题,或过长、抽象、与文本关键词脱节。
        • 证据不足:作答未给出“依据句”,缺少文本支撑,影响得分。

水平粗糙面上受拉木块的受力与运动分析

第一部分:问题背景与核心概念

  • 场景:质量 m = 2.0 kg 的木块置于水平粗糙桌面上,重力加速度取 g = 10 m/s²,动摩擦因数 μ = 0.20。对木块施加水平拉力。
  • 已知:F₁ = 6.0 N(使其开始运动),之后再讨论 F₂ = 12.0 N 的情况。
  • 核心概念:
    • 法向力 N = mg(水平面上无竖直加速)。
    • 动摩擦力大小 fₖ = μN,方向与滑动方向相反。
    • 牛顿第二定律:ΣF = ma。
    • 匀变速直线运动公式:v = v₀ + at;s = v₀t + ½at²。
    • 功与功率:拉力做功 W_F = F·s(同方向);瞬时功率 P = F·v。

受力分析(文字描述):木块受力包括重力 mg(竖直向下)、法向力 N(竖直向上,数值等于 mg)、水平向右的拉力 F、水平向左的摩擦力(与运动方向相反)。取水平方向向右为正方向。

第二部分:逐步解答与列式计算

  1. 木块的摩擦力大小与方向
  • 竖直方向平衡:N = mg = 2.0 kg × 10 m/s² = 20 N。
  • 动摩擦力:fₖ = μN = 0.20 × 20 N = 4.0 N。
  • 方向:与运动方向相反(与拉力 F 相反),即向左。
  • 说明:题干给出“使其开始运动”,启动后应采用动摩擦力 4.0 N。临界启动瞬间静摩擦力可达到与外力平衡(最大不超过 μ_sN),但开始滑动后取动摩擦力 fₖ = 4.0 N。

结论:(1) fₖ = 4.0 N,方向向左。

  1. 加速度大小与方向(F = 6.0 N 情况)
  • 水平方向合力:ΣF_x = F − fₖ = 6.0 N − 4.0 N = 2.0 N。
  • 加速度:a = ΣF_x / m = 2.0 N / 2.0 kg = 1.0 m/s²。
  • 方向:向右(与拉力同向)。

结论:(2) a = 1.0 m/s²,向右。

  1. 从静止开始 t = 5.0 s 内的速度与位移(F = 6.0 N)
  • 初速度:v₀ = 0。
  • 速度:v = v₀ + at = 0 + (1.0 m/s²)(5.0 s) = 5.0 m/s。
  • 位移:s = v₀t + ½at² = 0 + ½ × (1.0 m/s²) × (5.0 s)² = 0.5 × 25 = 12.5 m。

结论:(3) v(5.0 s) = 5.0 m/s;s(0→5.0 s) = 12.5 m。

  1. 拉力做功与 t = 5.0 s 时瞬时功率(F = 6.0 N)
  • 拉力做功:W_F = F·s = 6.0 N × 12.5 m = 75 J。
  • 瞬时功率:P(t) = F·v(t) = 6.0 N × 5.0 m/s = 30 W。
  • 校核(可选,能量守恒的功-能关系):ΔK = ½mv² = ½ × 2.0 × (5.0)² = 25 J; 摩擦做功 W_f = −fₖ·s = −4.0 × 12.5 = −50 J; W_F + W_f = 75 − 50 = 25 J = ΔK,正确。

结论:(4) W_F(0→5.0 s) = 75 J;P(5.0 s) = 30 W。

  1. 将拉力改为 F = 12.0 N,是否会出现匀速运动?说明依据
  • 摩擦力仍为动摩擦:fₖ = 4.0 N(与速度大小无关,方向与运动相反)。
  • 合力:ΣF_x = 12.0 − 4.0 = 8.0 N。
  • 加速度:a = 8.0 / 2.0 = 4.0 m/s²,向右。
  • 物理依据:匀速运动需要合外力为 0(牛顿第一、第二定律)。此处 F − fₖ = 8.0 N ≠ 0,因而不可能出现匀速,速度将随时间线性增大。
  • 只有当 F = fₖ = μmg = 4.0 N 时,合力为零,才能匀速;F < fₖ 则会减速或无法启动;F > fₖ 则持续加速。

结论:(5) 不会出现匀速运动;理由是合外力不为零(F − μmg ≠ 0),物体将做匀加速运动。

第三部分:总结与注意事项

  • 启动后应使用动摩擦力 fₖ = μN,且在本题中其大小与速度无关,方向总是阻碍相对运动。
  • 匀速的判据:水平合力为零(F = μmg)。本题中 F = 6 N 或 12 N 均大于 4 N,均产生向右的恒定加速度,不会匀速。
  • 受力平衡与运动方程分离:竖直方向平衡给出 N = mg;水平方向用牛顿第二定律求 a。
  • 计算时统一单位:N、m、s;中间值和最终值均给出并标注方向。

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