练习题与详解生成器

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Nov 27, 2025更新

面向教师与辅导者的练习题与详解自动生成器。用户提交学科与教学目标后，系统生成指定数量的与学科核心考点匹配的练习题，并为每题输出清晰、分步的解题过程与最终答案。支持按难度、题型与年级调整题目，适用于课堂练习、家庭作业与考前复习。严格依赖用户输入，不抓取外部数据。

练习题集：

题目：

已知二次函数 y = x^2 − 2(k+1)x + k^2。 (1) 求使该函数的最小值为 −1 的 k； (2) 在此 k 下，求函数的零点、对称轴与值域。
解不等式：|2x − 3| ≤ x + 4。
解方程：log₃(x+1) − log₃(2x − 1) = 1。
已知等差数列{a_n}满足：a₃ = 8，且 a₂ + a₅ = 20。求： (1) 公差 d 与首项 a₁； (2) 通项公式 a_n； (3) 前10项和 S₁₀。
已知圆 (x − 2)² + (y − 1)² = 13，直线 y = 2x + b 与该圆相切。求 b 的值。
解方程（x ∈ [0, 2π]）：2sin x + √3 cos x = 1。

解答：题目1： [步骤1] 配方求最小值。
y = x^2 − 2(k+1)x + k^2 = (x − (k+1))^2 − [(k+1)^2 − k^2] = (x − (k+1))^2 − (2k + 1)。
因此最小值为 −(2k + 1)。

[步骤2] 由最小值为 −1 得：−(2k + 1) = −1 ⇒ 2k + 1 = 1 ⇒ k = 0。

[步骤3] 代入 k = 0，函数为 y = x^2 − 2x = x(x − 2)。
零点：x = 0 或 x = 2。
对称轴：x = 1（顶点横坐标）。
值域：y ≥ −1（最小值 −1 在 x = 1 处取得）。

[最终答案] k = 0；零点为 0 与 2；对称轴 x = 1；值域 [−1, +∞)。

题目2： [步骤1] 注意右侧 x + 4 的符号。若 x + 4 < 0（即 x < −4），则 |2x − 3| ≤ x + 4 不可能成立（左侧 ≥0，右侧 <0），无解。
因此只需考虑 x ≥ −4。

[步骤2] 当 x ≥ −4 时，|A| ≤ B 等价于 −B ≤ A ≤ B。令 A = 2x − 3，B = x + 4：
−(x + 4) ≤ 2x − 3 ≤ x + 4。

[步骤3] 分别解两侧不等式：
(1) 2x − 3 ≥ −x − 4 ⇒ 3x ≥ −1 ⇒ x ≥ −1/3；
(2) 2x − 3 ≤ x + 4 ⇒ x ≤ 7。

[步骤4] 与 x ≥ −4 综合：x ∈ [−1/3, 7]。

[最终答案] 解集为 [−1/3, 7]。

题目3： [步骤1] 确定定义域：x + 1 > 0 ⇒ x > −1；2x − 1 > 0 ⇒ x > 1/2。故 x > 1/2。

[步骤2] 利用对数性质：log₃(x+1) − log₃(2x − 1) = log₃[(x+1)/(2x − 1)]。
方程化为：log₃[(x+1)/(2x − 1)] = 1。

[步骤3] 由对数的定义： (x+1)/(2x − 1) = 3。

[步骤4] 解方程：x + 1 = 3(2x − 1) = 6x − 3 ⇒ 4 = 5x ⇒ x = 4/5。
检验：x = 4/5 > 1/2，满足定义域。

[最终答案] x = 4/5。

题目4： [步骤1] 设首项 a₁，公差 d。
由 a₃ = a₁ + 2d = 8。（式①）
由 a₂ + a₅ = (a₁ + d) + (a₁ + 4d) = 2a₁ + 5d = 20。（式②）

[步骤2] 由（式①）得 a₁ = 8 − 2d，代入（式②）：
2(8 − 2d) + 5d = 20 ⇒ 16 − 4d + 5d = 20 ⇒ d = 4。
回代得 a₁ = 8 − 2×4 = 0。

[步骤3] 通项公式：a_n = a₁ + (n − 1)d = 0 + 4(n − 1) = 4n − 4。

[步骤4] 前10项和：S₁₀ = (n/2)[2a₁ + (n − 1)d] = (10/2)[0 + 9×4] = 5×36 = 180。

[最终答案] a₁ = 0，d = 4；a_n = 4n − 4；S₁₀ = 180。

题目5： [步骤1] 圆：(x − 2)² + (y − 1)² = 13，圆心 O(2, 1)，半径 r = √13。
直线：y = 2x + b ⇔ 2x − y + b = 0。

[步骤2] 切线条件：点到直线的距离等于半径。
距离公式：|A x₀ + B y₀ + C|/√(A² + B²)。带入 A = 2, B = −1, C = b, 点 (2,1)：
|2·2 + (−1)·1 + b| / √(2² + (−1)²) = √13 ⇒ |4 − 1 + b|/√5 = √13。

[步骤3] 解得 |b + 3| = √65 ⇒ b = −3 ± √65。

[最终答案] b = −3 + √65 或 b = −3 − √65。

题目6： [步骤1] 将 2sin x + √3 cos x 化成 R sin(x + φ) 形式。
令 R = √(2² + (√3)²) = √7。取角 φ 满足：
cos φ = 2/√7，sin φ = √3/√7（φ 位于第一象限）。
于是：2sin x + √3 cos x = √7 sin(x + φ)。

[步骤2] 方程化为：√7 sin(x + φ) = 1 ⇒ sin(x + φ) = 1/√7。

[步骤3] 通解：
x + φ = arcsin(1/√7) + 2kπ，或 x + φ = π − arcsin(1/√7) + 2kπ（k ∈ Z）。
记 α = arcsin(1/√7)，φ = arctan(√3/2)（与上面 cosφ, sinφ 一致）。

[步骤4] 在区间 [0, 2π] 内取 k 合适的值：
x₁ = −φ + α + 2π（因 −φ + α < 0，需加 2π），
x₂ = −φ + π − α。
数值近似：φ ≈ arctan(0.866/2) ≈ 0.6155，α ≈ 0.3880。
x₂ ≈ π − 0.3880 − 0.6155 ≈ 2.1381；
x₁ ≈ 2π − (0.6155 − 0.3880) ≈ 6.0557。

[最终答案] 在 [0, 2π] 上的解为
x = −φ + α + 2π，x = π − α − φ，
其中 φ = arctan(√3/2)，α = arcsin(1/√7)。
数值近似：x ≈ 2.1381，6.0557。

练习题集：

题目：

将速度单位进行换算：把72 km/h换算成m/s；把5 m/s换算成km/h。
一辆小车做匀速直线运动，20 s内通过200 m。求：小车的速度；若保持此速度，2 min内能通过多远？
一名学生步行：先用8 min走了600 m，又用12 min走了400 m。求这段路程的平均速度（单位用m/s）。
一块金属的质量为780 g，体积为100 cm³。求它的密度，分别用g/cm³和kg/m³表示。
已知酒精的密度为0.8 g/cm³。求：200 g酒精的体积（用cm³和mL表示）；2 L水的质量（已知水的密度约为1.0 g/cm³）。
一个物体的质量为0.5 kg。求：它在地球上所受的重力（取g≈10 N/kg）；若用弹簧测力计竖直悬挂使其静止，测力计的读数是多少？
在水平桌面上用8 N的水平拉力拉着一个物体做匀速直线运动。求：物体所受摩擦力的大小和方向；若突然停止拉力，物体将如何运动？说明原因。
在跷跷板上，重为20 N的甲同学坐在支点左侧1.5 m处。要使跷跷板平衡，重为15 N的乙同学应坐在支点右侧多远处？

解答：题目1： [步骤1] km/h与m/s的换算：1 km/h = (1000 m)/(3600 s) ≈ 0.2778 m/s；1 m/s = 3.6 km/h。 [步骤2] 72 km/h → m/s：72 × 0.2778 ≈ 20 m/s。 [步骤3] 5 m/s → km/h：5 × 3.6 = 18 km/h。 [最终答案] 72 km/h = 20 m/s；5 m/s = 18 km/h。

题目2： [步骤1] 匀速直线运动速度公式：v = s/t。 [步骤2] 已知s = 200 m，t = 20 s，得v = 200/20 = 10 m/s。 [步骤3] 2 min = 120 s；距离s = v t = 10 × 120 = 1200 m。 [最终答案] 速度为10 m/s；2 min内通过1200 m。

题目3： [步骤1] 总路程s总 = 600 m + 400 m = 1000 m。 [步骤2] 时间换算：8 min + 12 min = 20 min = 20 × 60 = 1200 s。 [步骤3] 平均速度v平 = s总 / t总 = 1000 / 1200 ≈ 0.833… m/s。 [最终答案] 平均速度约0.83 m/s。

题目4： [步骤1] 密度公式ρ = m / V。 [步骤2] 用g和cm³：ρ = 780 g / 100 cm³ = 7.8 g/cm³。 [步骤3] 单位换算：1 g/cm³ = 1000 kg/m³，因此7.8 g/cm³ = 7.8 × 1000 = 7800 kg/m³。 [最终答案] ρ = 7.8 g/cm³ = 7800 kg/m³。

题目5： [步骤1] 体积V = m / ρ。m = 200 g，ρ(酒精) = 0.8 g/cm³。 [步骤2] V = 200 / 0.8 = 250 cm³；1 cm³ = 1 mL ⇒ 250 cm³ = 250 mL。 [步骤3] 水：ρ(水) ≈ 1.0 g/cm³；2 L = 2000 mL = 2000 cm³。 [步骤4] m(水) = ρ V = 1.0 × 2000 = 2000 g = 2 kg。 [最终答案] 200 g酒精体积为250 cm³（即250 mL）；2 L水的质量为2 kg。

题目6： [步骤1] 重力公式：G = m g，取g ≈ 10 N/kg。 [步骤2] m = 0.5 kg ⇒ G = 0.5 × 10 = 5 N。 [步骤3] 静止悬挂时，弹簧测力计的拉力（读数）等于物体所受重力的大小。 [最终答案] 重力为5 N；测力计读数为5 N。

题目7： [步骤1] 匀速直线运动时，合力为0。 [步骤2] 水平拉力为8 N，若合力为0，则摩擦力大小应等于8 N，方向与拉力相反（即与运动方向相反）。 [步骤3] 停止拉力后，物体只受与运动方向相反的摩擦力作用，合力不为0，表现为速度减小，最终停下。 [最终答案] 摩擦力大小为8 N，方向与拉力相反；停止拉力后物体逐渐减速并停下。

题目8： [步骤1] 杠杆平衡条件：F1 × l1 = F2 × l2。 [步骤2] 已知F1 = 20 N，l1 = 1.5 m，F2 = 15 N，求l2。 [步骤3] l2 = (F1 × l1) / F2 = (20 × 1.5) / 15 = 30 / 15 = 2.0 m。 [最终答案] 乙同学应坐在支点右侧2.0 m处。

练习题集：

题目：

在1000 K下考察反应 CaCO3(s) ⇌ CaO(s) + CO2(g)。已知ΔH°298 = +178.3 kJ/mol，ΔS°298 = +160.5 J/(mol·K)，并假定ΔH°与ΔS°随温度近似不变。计算该温度下的平衡CO2分压Kp，并判断以下两种情形的反应方向：(i) 密闭容器中初始无CO2（惰性气体存在）；(ii) 置于CO2气氛下，外加PCO2 = 0.50 bar。
在25 °C下，电池：Ag(s)|Ag+(aq, 1.0×10^-3 M) || AgCl(s)|Ag(s)|Cl-(aq, 0.100 M)。已知E°(Ag+/Ag) = 0.7996 V，AgCl的Ksp = 1.8×10^-10。假定活度≈浓度，计算电池电动势Ecell，并判断自发电子流动方向。
反应 2NO + O2 → 2NO2 的机理为：步骤1：2NO ⇌ N2O2（快，平衡常数K = k1/k-1）；步骤2：N2O2 + O2 → 2NO2（慢，速率常数k2）。已知K = 6.0 M^-1，k2 = 0.50 M^-1·s^-1，在初始[NO] = 0.020 M、[O2] = 0.030 M时，推导速率方程并计算初始速率。
在25 °C下，用0.10 M NaCl作支持电解质的0.050 M乙酸溶液。已知pKa(乙酸) = 4.76，Debye–Hückel极限定律常数A(25 °C) ≈ 0.51，假定单价离子γ由log10 γ = -A z^2 √I给出。计算该溶液的pH（以活度定义）。
1,3-丁二烯与Br2加成的两种产物：1,2-加成与1,4-加成。假设两条路径的前指数因子相同，活化能分别为Ea(1,2) = 60 kJ/mol，Ea(1,4) = 70 kJ/mol；热力学上两产物的标准吉布斯能差ΔG° = G°(1,2) - G°(1,4) = +8 kJ/mol（即1,4产物更稳定）。(a) 在0 °C、短时间（不可逆、动力学控制）下，估算两产物的速率比与产物比例；(b) 在40 °C、长时间（可逆、热力学控制）下，估算平衡产物比例。

解答：题目1： [步骤1] 写出平衡常数与标准吉布斯能的关系：ΔG°(T) = ΔH° - TΔS°，Kp = exp(-ΔG°/RT)。 [步骤2] 在T = 1000 K下，计算ΔG°：ΔG° = 178300 J/mol - (1000 K)(160.5 J/mol·K) = 17800 J/mol。 [步骤3] 计算Kp（R = 8.314 J/mol·K）：Kp = exp(-17800/(8.314×1000)) = exp(-2.141) ≈ 0.117。 [步骤4] 对该反应，只有气相组分是CO2，因此Kp = PCO2(eq)。 [步骤5] 情形判断：

(i) 初始无CO2的惰性气体环境：反应将向右进行，生成CO2，直到PCO2升至≈0.117 bar时达到平衡。
(ii) 外加PCO2 = 0.50 bar：反应商Qp = 0.50 > Kp(=0.117)，反应向左（合成CaCO3）方向进行，CaCO3不分解。 [最终答案] Kp = PCO2(eq) ≈ 0.117 bar；(i) 反应向右直至PCO2 = 0.117 bar；(ii) 在PCO2 = 0.50 bar时反应向左，不分解。

题目2： [步骤1] 计算左电极Ag+/Ag的电位（Nernst）：Eleft = E°Ag+/Ag + (RT/F) ln a(Ag+)。取a ≈ [Ag+] = 1.0×10^-3 M，RT/F(25 °C) ≈ 0.025693 V。 Eleft = 0.7996 + 0.025693 ln(1.0×10^-3) = 0.7996 - 0.1773 ≈ 0.6223 V。 [步骤2] 由Ksp联系AgCl电极的标准电位：E°AgCl = E°Ag+/Ag + (RT/F) ln Ksp。 ln Ksp = ln(1.8×10^-10) ≈ -22.438；(RT/F)ln Ksp ≈ 0.025693×(-22.438) ≈ -0.576 V。 E°AgCl ≈ 0.7996 - 0.576 ≈ 0.2236 V。 [步骤3] 右电极AgCl/Ag的电位：Eright = E°AgCl - (RT/F) ln a(Cl-)，取a ≈ [Cl-] = 0.100 M。 Eright = 0.2236 - 0.025693 ln(0.100) = 0.2236 - (-0.05916) ≈ 0.2828 V。 [步骤4] 判定正负极并计算电池电动势：较高还原电位的为阴极。Eleft > Eright，因此左为阴极、右为阳极。 Ecell = Ecathode - Eanode = 0.6223 - 0.2828 ≈ 0.3395 V。电子自发由右（AgCl/Ag）流向左（Ag+/Ag）。 [最终答案] Ecell ≈ 0.340 V，自发电子从AgCl电极流向Ag+电极。

题目3： [步骤1] 机理与速率决定步：慢步为N2O2 + O2 → 2NO2，速率v = k2[N2O2][O2]。 [步骤2] 快步平衡给出中间体浓度：[N2O2] = K[NO]^2。 [步骤3] 代入得到总体速率方程：v = k2 K [NO]^2 [O2]。反应对NO为二级、对O2为一级，总三级。 [步骤4] 代入数值计算：K = 6.0 M^-1，k2 = 0.50 M^-1·s^-1，[NO] = 0.020 M，[O2] = 0.030 M。 v = (0.50)(6.0)(0.020)^2(0.030) = 0.50×6.0×4.0×10^-4×0.030 = 3.0×4.0×10^-4×0.030 = 12.0×10^-4×0.030 = 3.6×10^-5 M·s^-1。 [最终答案] 速率方程 v = k2 K [NO]^2 [O2]；在给定条件下 v ≈ 3.6×10^-5 M·s^-1。

题目4： [步骤1] 计算离子强度I：对NaCl，I = 1/2 Σ c_i z_i^2 = 1/2(0.10×1^2 + 0.10×1^2) = 0.10。 [步骤2] 用极限定律计算单价离子的活度系数：log10 γ = -A z^2 √I = -0.51×1×√0.10 = -0.51×0.316 ≈ -0.161。 γ_H+ ≈ γ_A- ≈ 10^-0.161 ≈ 0.69。 [步骤3] 弱酸平衡（以活度表示）：Ka = a_H+ a_A- / a_HA ≈ (γ_H+ x)(γ_A- x) / (C - x)，弱酸近似x ≪ C ⇒ Ka ≈ (γ_H+ γ_A-) x^2 / C。解得 x = [H+] ≈ √(Ka C / (γ_H+ γ_A-))。 [步骤4] 代入数值：Ka = 10^-4.76 ≈ 1.74×10^-5，C = 0.050 M，γ_H+ γ_A- ≈ 0.69^2 = 0.476。 x ≈ √((1.74×10^-5×0.050)/0.476) = √(1.83×10^-6) ≈ 1.35×10^-3 M。 [步骤5] pH以活度定义：a_H+ = γ_H+ [H+] ≈ 0.69×1.35×10^-3 ≈ 9.32×10^-4。 pH = -log10 a_H+ ≈ -log10(9.32×10^-4) ≈ 3.03。 [最终答案] pH ≈ 3.03（以活度定义，考虑I = 0.10的活度系数修正）。

题目5： [步骤1] 动力学控制下的速率比（短时间、不可逆）：k ∝ exp(-Ea/RT)，且A相同，故 k1,2/k1,4 = exp(-(Ea(1,2) - Ea(1,4))/RT) = exp((70 - 60)×10^3 /(RT)) = exp(10^4/(RT))。在0 °C（T = 273 K），RT ≈ 8.314×273 ≈ 2272 J/mol： k1,2/k1,4 = exp(10000/2272) = exp(4.40) ≈ 82。产物比例（近似初始速率比）：[1,2]:[1,4] ≈ 82:1 ⇒ 1,2约98.8%，1,4约1.2%。 [步骤2] 若在40 °C但仍为短时间动力学控制，速率比为： RT ≈ 8.314×313 ≈ 2603 J/mol，k1,2/k1,4 = exp(10000/2603) = exp(3.84) ≈ 47 ⇒ 1,2仍占优势。 [步骤3] 热力学控制下的平衡比（长时间、可逆）：Keq = exp(-ΔG°/RT)。在40 °C（T = 313 K）时，ΔG° = +8 kJ/mol（1,4更稳定）： [1,2]/[1,4] = exp(-8000/2603) = exp(-3.07) ≈ 0.046 ⇒ 1,4约95.4%，1,2约4.6%。 [最终答案] (a) 0 °C、动力学控制下：[1,2]:[1,4] ≈ 82:1（1,2 ≈ 98.8%）；(b) 40 °C、热力学控制下：[1,2]:[1,4] ≈ 0.046:1（1,4 ≈ 95.4%）。

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