创建多选题生成器

以下为“向量空间与基”主题的五道多选题（可多选），覆盖向量空间判定、子空间与基、维数与秩-零化度关系以及坐标表示的核心概念。每题均给出正确选项与简要解析，所据结论可由线性代数标准教材严格推出[1–3]。

题目一（向量空间判定，概念辨析，Bloom：理解/应用）
在实数域R上，以下哪些集合关于通常的加法与数乘构成向量空间（可多选）？
A. 所有次数不超过n的实系数多项式集合Pn
B. 所有次数恰为n的实系数多项式集合
C. 所有在区间[0,1]上的连续实值函数集合C[0,1]
D. 所有2×2可逆实矩阵的集合GL2(R)
E. 线性齐次方程组Ax=0在R^m中的全体解集合
正确答案：A, C, E
解析：A与C在通常运算下满足向量空间八公理[1]；E是R^m的线性子空间（齐次解集，对加法与数乘封闭）[2]。B不含零向量且对加法不封闭；D对加法不封闭，也不含零矩阵[2]。

题目二（矩阵空间的基，Bloom：应用/分析）
令V=M2(R)为所有2×2实矩阵构成的向量空间，下列哪些集合是V的一组基（可多选）？记E11=[[1,0],[0,0]]，E12=[[0,1],[0,0]]，E21=[[0,0],[1,0]]，E22=[[0,0],[0,1]]，I为2×2单位阵。
A. {E11, E12, E21, E22}
B. {I, E12, E21, E22}
C. {E11, E12, E21, E11+E22}
D. {E11, E12, E21, 2E12}
E. {I, E11, E22, E12}
正确答案：A, B, C
解析：V维数为4[2]。A为标准基；B线性无关且生成V（E11=I−E22）；C线性无关且生成V（E22=(E11+E22)−E11）。D线性相关（2E12与E12共线）；E线性相关（I=E11+E22）[2]。

题目三（R3中的基判定，Bloom：应用）
以下哪些向量集合是R3的一组基（可多选）？
A. {(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)}
B. {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
C. {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
D. {(1,2,3),(2,4,6),(0,1,0)}
E. {(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)}
正确答案：B, C
解析：需线性无关且恰含三向量[1]。A中第三向量为前两者之和，相关；B为标准基；C行列式非零（|[ [1,1,0],[1,0,1],[0,1,1] ]|=-2），无关即为基；D前两向量共线，至多秩2；E第三向量落在前两者生成的平面内，相关[1]。

题目四（Pn的基与坐标，Bloom：应用/分析）
令P2为次数不超过2的实系数多项式空间。下列哪些集合是P2的一组基（可多选）？
A. {1, x, x^2}
B. {1, 1+x, 1+x+x^2}
C. {1+x, x+x^2, 1+x^2}
D. {1, x, 1+x}
E. {x, x^2, x^3}
正确答案：A, B, C
解析：P2维数为3[1]。A为标准基；B与C相对于{1,x,x^2}之坐标矩阵行列式非零，故线性无关并生成全空间；D线性相关（1+x=1+x）；E不封闭于P2（x^3不在P2）[1]。

题目五（秩-零化度与行列空间，Bloom：分析/评价）
设A为实矩阵
A = [ [1, 2, 3],
      [0, 1, 1],
      [0, 0, 0] ]。
以下判断哪些正确（可多选）？
A. rank(A)=2
B. nullity(A)=1
C. A的前两列构成Col(A)的一组基
D. A的非零行向量构成Row(A)的一组基
E. Ax=0仅有零解
正确答案：A, B, C, D
解析：A为行阶梯形矩阵，主元列数为2，故秩为2；由秩-零化度定理，nullity(A)=3−2=1[2,3]。主元列在原矩阵中构成列空间的一组基[2]；阶梯形矩阵的非零行向量构成行空间基[2]。E错误：零化度为1意味着存在非零解[3]。

技术增强的实施建议（针对在线测评与学习分析）
- 题库参数化与自动判分：在LMS（如Moodle、Canvas）中以随机参数生成选项矩阵与向量，结合题目五的矩阵结构自动计算秩与零化度（可用内嵌Python/NumPy或SageMathCell），实现个性化测评与抄袭抑制。
- 过程性反馈：在错选“非子空间”“线性相关”类干扰项时，触发基于子空间判别法（零向量、加法封闭、数乘封闭）与行列式/主元判定的分步提示[2]。
- 可视化与计算工具：引导学生用SymPy（.rref()、.rank()、.nullspace()）或GeoGebra 3D直观检验线性无关与张成；配合Jupyter Notebook记录求解过程，支持格式化的学习证据留痕。
- 学习数据分析：利用选项级指标（如干扰项被选比例）定位共性误解（如将“可逆矩阵集合”误判为子空间），据此推送针对性微课与交互练习。

参考文献
[1] Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer.
[2] Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications (5th ed.). Pearson.
[3] Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.

Below are five multiple-select questions (select all that apply) focused on process standards and digital tool design in technology-enhanced learning. Each item is followed by an answer key and concise rationale with citations.

Question 1: Governance of the Instructional Design Workflow
Which elements constitute a robust, standards-aligned workflow for developing digital learning resources in a higher-education setting?
A. Version control and change logs for learning materials (e.g., using a repository with documented approvals prior to release)
B. A Definition of Done that mandates accessibility peer review prior to publishing
C. Ad hoc SME sign-off after deployment to production
D. A requirements traceability matrix linking learning outcomes to usability/accessibility tests and acceptance criteria
E. Storing learner PII in unencrypted spreadsheets during development to speed iteration

Question 2: Interoperability Across a Multi-Tool Ecosystem
To ensure seamless launch, roster/grade return, and cross-platform analytics, which specifications should a design team prioritize?
A. 1EdTech LTI 1.3/Advantage for secure tool launch, deep linking, and grade services
B. xAPI for capturing learning experiences across web and mobile apps
C. IMS Caliper Analytics for event telemetry and common event vocabularies
D. Building only custom REST APIs with no adherence to sector standards
E. SCORM 1.2 as the primary mechanism for mobile offline tracking and deep linking

Question 3: Accessibility and Inclusive Design
Which design practices align with WCAG 2.2 AA and Universal Design for Learning (UDL) principles?
A. Provide captions and transcripts for prerecorded media
B. Maintain a minimum 4.5:1 color contrast ratio for body text
C. Lock navigation to a single linear path to ensure “focus”
D. Ensure full keyboard operability with visible focus indicators
E. Offer multiple means of representation (e.g., text alternatives for complex visuals)

Question 4: Data Protection and Ethical Analytics
Which practices align with GDPR/FERPA and privacy-by-design for learning analytics and remote proctoring?
A. Data minimization and purpose limitation in data collection
B. Conducting a Data Protection Impact Assessment (DPIA) for high-risk processing (e.g., biometric proctoring)
C. Storing pseudonymous learner identifiers with the re-identification key held separately
D. Indefinite retention of detailed clickstream data for “future research”
E. For biometric data, obtaining explicit consent and offering a non-biometric alternative to avoid coercion in a power-imbalanced educational context

Question 5: Usability and Quality in an Agile ID Process
Which actions reflect best practice for embedding usability and quality into iterative instructional design?
A. Formative usability testing with representative learners using think-aloud protocols during prototype sprints
B. Post-beta administration of standardized usability instruments (e.g., SUS or UMUX-Lite)
C. A/B testing of learning interventions with appropriate ethical review when generalizable knowledge is intended
D. Shipping to production first and relying solely on unstructured anecdotal feedback
E. Defining acceptance criteria using ISO/IEC 25010 quality characteristics (e.g., usability, reliability, security)

Answer Key
- Q1: A, B, D
- Q2: A, B, C
- Q3: A, B, D, E
- Q4: A, B, C, E
- Q5: A, B, C, E

Rationales (with references)
- Q1:
  - A and B: Formal change control and pre-release accessibility review align with human-centered, iterative quality practices (ISO 9241-210) and accessibility-by-design (W3C WCAG; Section 508).
  - D: Traceability supports verifiable alignment from requirements to tests and acceptance criteria (ISO/IEC 25010).
  - C and E are noncompliant; ad hoc sign-off lacks governance, and unencrypted PII violates security and privacy norms (ISO/IEC 27001; GDPR Art. 5, 25).

- Q2:
  - A: LTI 1.3/Advantage enables secure launch via OAuth 2.0/OpenID Connect, deep linking, NRPS, and grade services (1EdTech).
  - B and C: xAPI and Caliper support cross-platform learning event capture and common analytics vocabularies (ADL; 1EdTech).
  - D: Eschewing standards impairs interoperability and maintainability.
  - E: SCORM 1.2 does not support robust mobile offline tracking or deep linking and is constrained to LMS runtime contexts (ADL).

- Q3:
  - A, B, D, E: Captions/transcripts (WCAG 1.2.2), sufficient contrast (1.4.3), keyboard operability and focus visibility (2.1.1; 2.4.7), and multiple means of representation (UDL) constitute best practice.
  - C: Forced linear navigation can hinder learner agency and conflicts with UDL’s flexibility principles (CAST).

- Q4:
  - A: Data minimization and purpose limitation are core GDPR principles (Art. 5).
  - B: DPIA is required for high-risk processing like biometrics (GDPR Art. 35).
  - C: Pseudonymization and key separation reduce re-identification risk (GDPR Recital 28).
  - E: Biometric data are special-category; explicit consent must be freely given, which in education often requires non-coercive alternatives (GDPR Art. 9; EDPB Guidelines on consent).
  - D: Indefinite retention contravenes storage limitation (GDPR Art. 5(1)(e)); FERPA also restricts disclosure and emphasizes safeguarding education records.

- Q5:
  - A: Iterative formative testing is central to human-centered design (ISO 9241-210).
  - B: SUS and UMUX-Lite are validated instruments for summative usability assessment (Brooke; Lewis et al.).
  - C: Experimental comparisons require ethical oversight when intended to contribute to generalizable knowledge.
  - E: Using ISO/IEC 25010 helps specify verifiable quality attributes in acceptance criteria.
  - D: Post-hoc anecdotal feedback alone is insufficient and risks avoidable defects.

References
- 1EdTech Consortium. (n.d.). Learning Tools Interoperability (LTI) and Caliper Analytics specifications. https://www.1edtech.org
- ADL Initiative. (2017). Experience API (xAPI) specification. https://adlnet.gov/projects/xapi
- Brooke, J. (1996). SUS: A quick and dirty usability scale. In P. W. Jordan et al. (Eds.), Usability evaluation in industry. Taylor & Francis.
- CAST. (2018). Universal Design for Learning guidelines version 2.2. http://udlguidelines.cast.org
- European Data Protection Board. (2020). Guidelines 05/2020 on consent under Regulation 2016/679.
- European Union. (2016). General Data Protection Regulation (GDPR) 2016/679.
- ISO. (2019). ISO 9241-210:2019 Ergonomics of human-system interaction—Human-centred design for interactive systems.
- ISO/IEC. (2011). ISO/IEC 25010:2011 Systems and software engineering—SQuaRE—System and software quality models.
- ISO/IEC. (2022). ISO/IEC 27001:2022 Information security, cybersecurity and privacy protection—Information security management systems.
- Nielsen, J. (1994/2020). 10 usability heuristics for user interface design. Nielsen Norman Group.
- W3C. (2023). Web Content Accessibility Guidelines (WCAG) 2.2. https://www.w3.org/TR/WCAG22
- U.S. Department of Education. (n.d.). Family Educational Rights and Privacy Act (FERPA). https://www2.ed.gov/policy/gen/guid/fpco/ferpa/index.html

Note: Where version numbers are omitted (e.g., Caliper), the reference is to the current, maintained specification as published by the standards body at the time of consultation.

A continuación se presentan cinco ítems de selección múltiple (seleccione todas las opciones correctas) sobre fundamentos del aprendizaje supervisado. Cada ítem incluye opciones plausibles, la clave de respuesta y una justificación breve sustentada en la literatura especializada.

1) Naturaleza y objetivo del aprendizaje supervisado
Opciones:
A. Requiere un conjunto de entrenamiento con pares (x, y) etiquetados.
B. Su objetivo principal es maximizar la entropía de p(x).
C. Aprende una función f: X → Y que minimiza el riesgo empírico mediante una función de pérdida L.
D. No admite variables continuas como salida.
E. Puede formularse como la estimación de p(y|x) o de un mapeo determinista g(x).

Respuestas correctas: A, C, E.
Justificación: El aprendizaje supervisado utiliza ejemplos etiquetados para aprender un mapeo de entradas a salidas minimizando una función de pérdida (riesgo empírico) y puede adoptar enfoques discriminativos (p(y|x)) o funcionales directos (f(x)) (Bishop, 2006; Murphy, 2012; Goodfellow, Bengio, & Courville, 2016).

2) Partición de datos y validación
Opciones:
A. El escalado de características debe ajustarse únicamente con los datos de entrenamiento en cada partición o fold.
B. En series temporales, barajar aleatoriamente las observaciones antes de la validación mejora la estimación al romper la autocorrelación.
C. La estratificación en clasificación preserva la distribución de clases y mejora la estabilidad de las estimaciones.
D. Es apropiado usar el conjunto de prueba para seleccionar hiperparámetros si no se dispone de validación.
E. Con clases muy desbalanceadas, la validación estratificada y el uso de PR-AUC suelen ser más informativos que ROC-AUC.

Respuestas correctas: A, C, E.
Justificación: Para evitar leakage, el preprocesamiento se ajusta solo con entrenamiento en cada fold. La estratificación y métricas como PR-AUC son recomendables con clases raras. En series temporales deben usarse particiones respetuosas del orden temporal. El conjunto de prueba no debe guiar la selección de hiperparámetros (Kohavi, 1995; Saito & Rehmsmeier, 2015; Hastie, Tibshirani, & Friedman, 2009).

3) Funciones de pérdida y métricas de evaluación
Opciones:
A. MSE y MAE son pérdidas comunes en regresión.
B. La entropía cruzada binaria (log-loss) es adecuada para clasificación probabilística binaria.
C. La exactitud (accuracy) es siempre apropiada, aun con fuerte desbalance de clases.
D. ROC-AUC y PR-AUC capturan aspectos distintos; PR-AUC es más sensible a positivos raros.
E. En regresión, R² es una pérdida convexa recomendable para el entrenamiento.

Respuestas correctas: A, B, D.
Justificación: MSE/MAE son pérdidas estándar en regresión; la entropía cruzada es canónica en clasificación probabilística; con clases raras, PR-AUC resulta más informativa que ROC-AUC. Accuracy puede ser engañosa en escenarios desbalanceados. R² es una métrica, no una pérdida convexa típica de entrenamiento (Hastie et al., 2009; Murphy, 2012; Saito & Rehmsmeier, 2015).

4) Sobreajuste, sesgo-varianza y regularización
Opciones:
A. El sobreajuste se manifiesta con bajo error en entrenamiento y alto error en validación.
B. La regularización L2 tiende a fijar muchos coeficientes exactamente a cero, facilitando la selección de variables.
C. El early stopping funciona como un regularizador en procedimientos iterativos.
D. Aumentar la complejidad del modelo siempre reduce el error de generalización.
E. Aumentar el tamaño de datos o aplicar data augmentation puede reducir la varianza del modelo.

Respuestas correctas: A, C, E.
Justificación: El sobreajuste es discrepancia entre rendimiento en entrenamiento y generalización. L1, no L2, promueve soluciones exactamente esparsas. Early stopping y el aumento de datos actúan como regularizadores que mejoran la generalización (Geman, Bienenstock, & Doursat, 1992; Tibshirani, 1996; Goodfellow et al., 2016).

5) Algoritmos supervisados y sus propiedades
Opciones:
A. k-NN es un método supervisado basado en instancias; su coste de inferencia crece con el tamaño del conjunto de entrenamiento.
B. PCA es un método supervisado que maximiza la varianza de la variable objetivo y.
C. La regresión logística modela P(y=1|x) mediante una función sigmoide y es apropiada para clasificación binaria.
D. En SVM, un parámetro C más grande reduce la regularización y puede incrementar el sobreajuste.
E. Los árboles de decisión presentan alta varianza; técnicas de ensamble como bagging o Random Forest reducen dicha varianza.

Respuestas correctas: A, C, D, E.
Justificación: k-NN clasifica por proximidad y su inferencia depende del tamaño del entrenamiento; PCA es no supervisado; la regresión logística modela probabilidades condicionales; en SVM, un C grande penaliza fuertemente los errores de entrenamiento (menos regularización); los ensambles tipo bagging/Random Forest estabilizan árboles y reducen varianza (Hastie et al., 2009; Breiman, 2001; Bishop, 2006).

Referencias
- Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.
- Breiman, L. (2001). Random forests. Machine Learning, 45(1), 5–32.
- Geman, S., Bienenstock, E., & Doursat, R. (1992). Neural networks and the bias/variance dilemma. Neural Computation, 4(1), 1–58.
- Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deep Learning. MIT Press.
- Hastie, T., Tibshirani, R., & Friedman, J. (2009). The Elements of Statistical Learning (2nd ed.). Springer.
- Kohavi, R. (1995). A study of cross-validation and bootstrap for accuracy estimation and model selection. In IJCAI (pp. 1137–1145).
- Murphy, K. P. (2012). Machine Learning: A Probabilistic Perspective. MIT Press.
- Saito, T., & Rehmsmeier, M. (2015). The precision–recall plot is more informative than the ROC plot when evaluating binary classifiers on imbalanced datasets. PLoS ONE, 10(3), e0118432.
- Tibshirani, R. (1996). Regression shrinkage and selection via the lasso. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 58(1), 267–288.