生成考试复习问题

以下为围绕“二次函数的顶点与开口”的5个复习问题。按步骤完成，注意抓住顶点坐标、对称轴与开口方向三要点。

1) 求顶点与开口（标准式）
- 题目：给定函数 f(x) = 2x^2 − 8x + 5。
- 要求：求顶点坐标、对称轴方程与开口方向。
- 提示：
  - 对称轴：x = −b/(2a)。
  - 顶点纵坐标：y = f(−b/(2a))。
  - 开口方向看 a 的符号：a > 0 向上，a < 0 向下。

2) 配方为顶点式并判定开口
- 题目：将 y = −3x^2 + 12x − 7 化为顶点式 y = a(x − h)^2 + k，并读出顶点与开口方向。
- 要求：写出配方步骤；给出 h、k；判断开口。
- 提示：
  - 先提取 a：y = −3(x^2 − 4x) − 7。
  - 完全平方：x^2 − 4x = (x − 2)^2 − 4。
  - 还原并整理出 y = a(x − h)^2 + k；a 的符号决定开口。

3) 已知顶点与过点求解析式
- 题目：已知抛物线顶点为 (1, −5)，且图像过点 (3, 3)。求其函数解析式，并判断开口。
- 要求：写成 y = a(x − h)^2 + k 的形式，代入已知点解出 a，最后给出开口方向。
- 提示：
  - 顶点式：y = a(x − 1)^2 − 5。
  - 把 (3, 3) 代入求 a；a 的符号决定开口。

4) 由几何信息反求函数并判断开口
- 题目：某抛物线顶点为 (−2, 4)，对称轴 x = −2，且该抛物线经过原点 (0, 0)。求其函数解析式并判断开口方向。
- 要求：以顶点式设 y = a(x + 2)^2 + 4，利用过点条件求 a，给出开口方向。
- 提示：
  - 将 (0, 0) 代入：0 = a(0 + 2)^2 + 4，解出 a。
  - a 的符号决定开口。

5) 含参数的顶点位置与开口判定
- 题目：函数 f(x) = kx^2 − 4x + 1。求使抛物线开口向上且顶点位于第一象限的 k 的取值范围。
- 要求：同时满足开口向上与顶点坐标均为正。
- 提示：
  - 开口向上要求：k > 0。
  - 顶点横坐标：xv = −b/(2a) = 4/(2k) = 2/k，需 xv > 0。
  - 顶点纵坐标：yv = f(2/k)，化简后判断 yv > 0，联立求 k 的范围。

Below are five focused review questions on eigenvalues and eigenvectors. For each, follow the steps and use the tips to check your work and reasoning.

1) Compute eigenvalues and eigenvectors (2×2 upper-triangular)
Matrix: A = [[4, 1], [0, 3]]
- Find eigenvalues: Compute the characteristic polynomial det(A − λI). Use the fact that for triangular matrices, eigenvalues are the diagonal entries.
- Find eigenvectors: For each eigenvalue λ, solve (A − λI)v = 0 for a nonzero vector v.
- Normalize (optional): If needed, scale eigenvectors to unit length for clarity.
- Check: Verify Av = λv for each eigenpair. Confirm that sum of eigenvalues equals tr(A) and product equals det(A).

2) Decide if a matrix is diagonalizable (geometric vs algebraic multiplicity)
Matrix: B = [[2, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]
- Find eigenvalues and algebraic multiplicities: Solve det(B − λI) = 0 and note repeated roots.
- Compute eigenspaces: For each eigenvalue, solve (B − λI)x = 0 and determine the dimension (geometric multiplicity).
- Conclude: B is diagonalizable iff the sum of geometric multiplicities equals 3 (or equivalently, each eigenvalue’s geometric multiplicity equals its algebraic multiplicity).
- If diagonalizable: Construct P from a basis of eigenvectors and D = diag(eigenvalues). Otherwise, explain which eigenvalue fails the criterion and why.

3) Orthogonally diagonalize a symmetric matrix
Matrix: C = [[2, -1], [-1, 2]]
- Find eigenvalues: Compute det(C − λI) and solve for λ.
- Find eigenvectors: For each λ, solve (C − λI)v = 0.
- Orthonormalize: Normalize eigenvectors (symmetric matrices have orthogonal eigenvectors for distinct eigenvalues).
- Form the decomposition: Let Q be the matrix with orthonormal eigenvectors as columns; let Λ be the diagonal matrix of eigenvalues. Verify C = QΛQ^T and Q^TQ = I.

4) Reason about how eigenvalues change under matrix operations
Given A ∈ R^(n×n) and λ an eigenvalue with eigenvector v ≠ 0:
- Powers: Show A^k v = λ^k v, hence eigenvalues of A^k are λ^k.
- Inverse (if A is invertible): From Av = λv with λ ≠ 0, derive A^(-1)v = (1/λ)v, so eigenvalues of A^(-1) are 1/λ.
- Shift: For α ∈ R, (A + αI)v = (λ + α)v, so eigenvalues shift by α.
- Scaling: For s ∈ R, (sA)v = (sλ)v, so eigenvalues scale by s.
- Transpose: Use det(λI − A^T) = det((λI − A)^T) = det(λI − A) to conclude A and A^T have the same eigenvalues (algebraic multiplicities match). Note: right eigenvectors of A become left eigenvectors of A^T.

5) Use eigen-decomposition to compute a matrix power
Matrix: A = [[0, 1], [-2, 3]]
Goal: Compute A^5 efficiently via diagonalization.
- Find eigenvalues: Solve det(A − λI) = 0.
- Find eigenvectors: For each eigenvalue λ, solve (A − λI)v = 0; assemble P from independent eigenvectors.
- Diagonalize: Verify A = PDP^(-1), with D diagonal of eigenvalues.
- Raise to a power: Compute D^5 by raising each diagonal entry to the 5th power, then A^5 = P D^5 P^(-1).
- Check: Validate by computing A^2 once directly to see the pattern, or verify A^5P = P D^5 to avoid full multiplication errors.

Tips for all problems:
- Always check Av = λv to validate eigenpairs.
- Keep track of algebraic vs geometric multiplicity; this is central to diagonalizability.
- Use trace and determinant as quick checks: sum of eigenvalues = tr(A), product = det(A) (counting algebraic multiplicities).

以下为“Python 循环与条件”复习的5个练习题。请逐题完成，按要求编写或分析代码，并参考提示巩固概念。

1) 判断分支与短路逻辑
- 任务：阅读代码，写出程序的输出，并说明进入该分支的原因。
- 代码:
  x = 7
  if x % 2 == 0:
      print("A")
  elif 3 <= x < 10 and x % 3 == 1:
      print("B")
  else:
      print("C")
- 要求：解释比较链 3 <= x < 10 的含义；说明 and 的短路发生在何处。
- 提示：比较链等价于(3 <= x) and (x < 10)；and 左侧为假时右侧不计算。

2) 使用 for 与 continue 进行条件累加
- 任务：编写函数 sum_not_divisible_by_3(n)，返回1到n中所有不被3整除的整数之和。
- 要求：
  1. 使用 for 循环遍历 1..n。
  2. 使用 continue 跳过被3整除的数。
  3. 返回累加结果。
- 提示：range(1, n+1)；遇到 i % 3 == 0 时 continue。

3) 使用 while 累加直到达到阈值
- 任务：用 while 循环找出最小整数 k，使得 1+2+...+k ≥ 1000，并打印 k 与最终和。
- 要求：
  1. 使用累加器 s 与计数器 k。
  2. 循环条件基于当前和 s 是否达到阈值。
  3. 循环结束后输出结果。
- 提示：初始化 s = 0, k = 0；在循环内先更新 k，再把 k 加到 s。

4) 嵌套循环与 break：查找每行第一个负数
- 任务：给定二维列表 matrix，统计每一行中第一个负数的列索引；若该行无负数，记录为 -1。返回索引列表。
- 示例输入：
  matrix = [
      [3, 5, -2, 7],
      [0, 4, 6],
      [1, -1, -3],
      [2, 8]
  ]
- 要求：
  1. 使用双层 for 循环。
  2. 找到第一个负数后使用 break 跳出内层循环。
  3. 每行处理结束后将结果追加到结果列表。
- 提示：为每行设置 found = -1；内层循环中一旦找到负数，记录索引并 break。

5) 理解 for-else 的执行时机
- 任务：阅读代码，分别当 n=13 与 n=15 时，写出输出并解释原因。
- 代码:
  n = 15
  for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
      if n % i == 0:
          print("Not prime")
          break
  else:
      print("Prime")
- 要求：说明 for-else 中 else 的执行前提；指出何时会跳过 else。
- 提示：for-else 的 else 在循环未遇到 break 正常结束时执行；一旦 break，else 不执行。