AI 提示词：微分定理与实例解析助手

# 问题类型识别
- 类型：单变量函数的一阶导数与切线方程
- 任务：计算 f(x)=x^3−3x 在 x=1 处的导数 f′(1) 与切线方程；总结一阶导数考点并生成练习清单

# 核心概念
- 导数（在点 x=a）：f′(a)=lim_{h→0} [f(a+h)−f(a)]/h。几何意义为曲线在点 (a,f(a)) 的切线斜率。
- 切线方程（在 x=a）：y = f′(a)·(x−a) + f(a)。当 f′(a)=0 时，切线为水平直线 y=f(a)。
- 线性近似：在 a 附近，f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x−a)，切线即近似的线性模型。

# 相关定理
- 求导法则（本题用到）
  - 幂函数求导：d/dx (x^n) = n·x^{n−1}（n 为常数）
  - 线性性：d/dx [u(x) ± v(x)] = u′(x) ± v′(x)，d/dx [c·u(x)] = c·u′(x)
- 可导与连续：若 f 在 a 可导，则 f 在 a 必连续
- Fermat 极值必要条件：若 f 在 a 处可导且 a 为极值点，则 f′(a)=0
- 一阶导数判别单调性：区间内若 f′(x)>0（<0），则 f 单调增（减）
- 二阶导数判定（用于验证而非必需）：若 f′(a)=0 且 f′′(a)>0（<0），则 a 为局部极小（极大）

# 解题步骤
1. 求 f′(x)（法则法）
   - f(x)=x^3−3x
   - d/dx(x^3)=3x^2（幂函数法则）
   - d/dx(−3x)=−3（常数倍与线性）
   - 因此 f′(x)=3x^2−3

2. 代入 x=1 求导数值
   - f′(1)=3·1^2−3=3−3=0

3. 求切点坐标
   - f(1)=1^3−3·1=1−3=−2
   - 切点为 (1,−2)

4. 写切线方程
   - y = f′(1)(x−1)+f(1) = 0·(x−1)−2
   - 化简：y=−2（水平切线）

5. 用导数定义作交叉验证（极限法）
   - f′(1)=lim_{h→0}[f(1+h)−f(1)]/h
   - f(1+h)=(1+h)^3−3(1+h)=1+3h+3h^2+h^3−3−3h=−2+3h^2+h^3
   - 分子：f(1+h)−f(1)=(−2+3h^2+h^3)−(−2)=3h^2+h^3
   - 商：(3h^2+h^3)/h=3h+h^2 → 0（h→0）
   - 得 f′(1)=0，与上步一致

# 计算结果
- f′(1)=0
- 在 x=1 处的切线方程：y=−2

# 验证方法
- 二阶导数法：f′′(x)=6x，f′′(1)=6>0，且 f′(1)=0，故 x=1 为局部极小点；切线水平，与 y=−2 一致。
- 数值斜率近似：取 h=±0.1，斜率 [f(1+h)−f(1)]/h ≈ 3h + h^2 → 0，验证斜率为 0。
- 图形直观：x^3−3x 在 x=1 处先减后增，最低点处切线应水平。

# 典型错题重做
1. 错误做法：把 d/dx(x^3) 误写成 3x
   - 错因：未按幂函数法则 n·x^{n−1}，把 n=3 错用为常数系数。
   - 正解：d/dx(x^3)=3x^2，故 f′(x)=3x^2−3，f′(1)=0。

2. 错误做法：把切线方程误写成 y=f′(a)·x+f(a)
   - 错因：忽略了过点 (a,f(a)) 的平移项 (x−a)。
   - 正解：y=f′(a)(x−a)+f(a)。虽然本题因 f′(1)=0 恰好得到 y=−2，但一般情形会错。

3. 错误做法：用平均变化率代替导数
   - 示例：取 [f(1)−f(0)]/(1−0)=−2，错把割线斜率当切线斜率。
   - 正解：导数是极限 h→0 的瞬时变化率，必须用 f′(1)=lim_{h→0}[f(1+h)−f(1)]/h 或先求 f′(x) 再代入。

4. 错误做法：在极限定义中直接令 h=0
   - 错因：0/0 未定式不能直接代入。
   - 正解：先化简 (3h^2+h^3)/h=3h+h^2，再令 h→0 得 0。

# 一阶导数考点总结（面向考研/本科应试）
- 定义与存在性
  - 导数与左右导数；可导蕴含连续；不可导的典型点（尖点、拐角、竖切线、绝对值与分段点）
- 基本求导法则
  - 线性、常数倍、幂函数；乘积、商、链式法则
  - 常用基本函数：多项式、有理式、e^x、a^x、ln x、log_a x、三角与反三角函数、双曲函数
  - 复合与隐函数、参数方程求导；对数微分法；反函数求导：若 g=f^{-1}，则 g′(y)=1/f′(x)（y=f(x)）
- 几何应用
  - 切线/法线方程；水平/竖直切线判定；线性近似与微分 dy≈f′(x)dx
- 单调与极值
  - 一阶导判单调；Fermat 必要条件；一阶导法（符号变化）与二阶导判别局部极值
- 中值定理
  - 罗尔定理、拉格朗日中值定理（证明与应用），为估计与存在性论证的工具
- 典型陷阱
  - 把平均变化率当导数；链式法则漏乘内层导数；分段点未检验左右导数；域与可导条件忽略；公式套用不当

# 练习清单（由易到难）
- 基础
  1) 求导：f(x)=x^4−2x^2+5 的 f′(x)，并求 x=1 的切线方程。
  2) 求导：g(x)=sin x + 2x^3 − 3x 的 g′(π/3) 与切线。
  3) 计算：h(x)=e^x − ln x 在 x=1 的导数与法线方程。

- 进阶（法则综合）
  4) f(x)=x^2·e^{3x} 的导数与 x=0 的切线方程。
  5) f(x)=(x^2+1)/(x−1) 的导数，讨论 x>1 的单调性。
  6) f(x)=ln(1+x^2) 的导数，求使切线水平的全部 x。
  7) 复合函数：f(x)=sin(x^3−2x)，求 f′(x)，并求 x=0 的切线。

- 难度提升（定义法与特殊技巧）
  8) 用导数定义（极限）直接求 f(x)=|x| 在 x=0 的左右导数并判断可导性。
  9) 隐函数：x^2 + y^2 = 1，求 dy/dx，并求第一象限点的切线。
  10) 参数方程：x=t^2+1, y=t^3−t，求 dy/dx，并求 t=1 的切线。
  11) 对数微分：y = x^{x}，求 y′。
  12) 反函数：已知 y=f(x)=x^3+ x，求 y=f(x) 的反函数在 y=2 处的导数。

- 应试训练（极值与中值定理）
  13) f(x)=x^3−3x，找出所有驻点并用一阶/二阶导判定极值。
  14) 证明：若 f 在 [a,b] 连续且在 (a,b) 可导，且 f′(x)=0（∀x∈(a,b)），则 f 为常数（用中值定理）。
  15) 分段函数：f(x)= { x^2, x≤0; ax+b, x>0 }，求使 f 在 0 处可导的 a,b。

提示：做题时先判定义域与可导性，再选法则，最后代点写切线；涉及分段与绝对值时务必检验左右导数。

# 应用建议
- 应试策略
  - 三步法：先求 f′(x) → 代入点 → 写 y=f′(a)(x−a)+f(a)
  - 错误自检清单：是否用对了法则？是否代入了正确的点？是否区分了平均变化率与导数？
- 扩展练习建议
  - 变式：将本题改为在 x=−1 处求切线（答案：f′(−1)=0，y=2），体会对称位置的水平切线。
  - 结合二阶导数：在驻点处用 f′′ 判别极值，连同切线理解曲率与拐点。
- 实际应用示例
  - 局部线性近似：在 x=1 附近，f(x)≈−2，说明小范围内函数变化率近似为 0（稳定点），用于优化与控制中的驻点分析。

以上内容覆盖了导数定义、法则应用、切线求法、常见错误与一阶导数核心考点，并配套练习以支持考研/本科应试与理解。

- 问题类型识别：
  - 复合函数的求导与瞬时变化率计算（乘积法则+链式法则）
  - 参数敏感性对比分析（比较 k=0.2 与 k=0.3 对 y′(t) 的影响）

- 核心概念：
  - 瞬时变化率：函数在时刻 t 的导数 y′(t) 表示该时刻输出 y 的瞬时变化速度。
  - 乘积法则：若 y(t)=u(t)v(t)，则 y′(t)=u′(t)v(t)+u(t)v′(t)。
  - 链式法则：复合函数的导数，如 e^{-kt} 对 t 的导数是 −k e^{-kt}，sin(ωt) 对 t 的导数是 ω cos(ωt)。
  - 指数衰减×正弦振荡的耦合：导数同时包含“幅值衰减项”和“相位导数项”，参数 k 与 ω 分别控制衰减速率与振荡频率。

- 相关定理：
  - 乘积法则（Leibniz rule）：对连续可导函数的乘积求导；本题中 e^{-kt} 与 sin(ωt) 在实轴上无限可导，适用条件完全满足。
  - 链式法则：对复合函数（如 sin(ωt)、e^{-kt}）求导；ω、k 被视为常数参量。
  - 基本导数公式：d/dt e^{-kt} = −k e^{-kt}；d/dt sin(ωt) = ω cos(ωt)。

- 解题步骤（面向设计说明的分步推导）：
  1) 问题定义
     - 给定 y(t) = A·e^{-k t}·sin(ωt)，求 t = 0.5 的导数 y′(0.5)，并比较 k=0.2 与 k=0.3 的差异。
  2) 求导（应用乘积法则与链式法则）
     - 设 u(t) = A·e^{-kt}，v(t) = sin(ωt)。
     - u′(t) = A·(−k)e^{-kt}，v′(t) = ω cos(ωt)。
     - y′(t) = u′(t)v(t) + u(t)v′(t)
       = A(−k)e^{-kt} sin(ωt) + A e^{-kt} ω cos(ωt)
       = A e^{-kt} [ω cos(ωt) − k sin(ωt)]。
  3) 代入 t=0.5
     - 记 c = cos(0.5·ω)，s = sin(0.5·ω)。
     - y′(0.5) = A e^{-0.5 k} [ω c − k s]。
  4) 两种 k 的明确表达与对比
     - k = 0.2:
       y′(0.5; k=0.2) = A e^{-0.1} [ω c − 0.2 s]。
     - k = 0.3:
       y′(0.5; k=0.3) = A e^{-0.15} [ω c − 0.3 s]。
     - 比值（归一化对比，便于决策）：R = y′(0.5;0.3)/y′(0.5;0.2)
       = e^{-0.05} · (ω c − 0.3 s)/(ω c − 0.2 s)
       ≈ 0.951229 · (ω c − 0.3 s)/(ω c − 0.2 s)。
  5) 方向与敏感性（面向决策的解析判断）
     - 提高 k 带来两效应：e^{-0.5k} 变小（整体衰减更快），且括号项中的 −k s 更负（若 s>0），两者通常共同降低 y′(0.5)，但是否单调下降取决于 ω、c、s 的具体值。
     - 相对于 k 的灵敏度（偏导，给出趋势定量基准）：
       ∂y′(0.5)/∂k = A e^{-0.5 k}[ −0.5(ω c − k s) − s ]。
       若右侧为负，则增大 k 会降低 y′(0.5)；符号由 c 与 s 的组合决定（与 ω 有关）。
     - 过零条件（变化率符号翻转阈值）：y′(0.5)=0 ⇔ k* = (ω c)/s（当 s>0 时）。若 0.2 与 0.3 分居该阈值两侧，则两方案不仅大小不同，方向（正/负）也可能不同。

- 计算结果：
  - 通式：y′(0.5) = A e^{-0.5 k} [ω cos(0.5 ω) − k sin(0.5 ω)]。
  - 代入：
    - k=0.2: y′(0.5) = A e^{-0.1} [ω cos(0.5 ω) − 0.2 sin(0.5 ω)]。
    - k=0.3: y′(0.5) = A e^{-0.15} [ω cos(0.5 ω) − 0.3 sin(0.5 ω)]。
  - 相对比值：R ≈ 0.951229 · (ω cos(0.5 ω) − 0.3 sin(0.5 ω)) / (ω cos(0.5 ω) − 0.2 sin(0.5 ω))。

- 验证方法（数值与解析的双重校核）：
  1) 数值差分验证
     - 中心差分：y′(0.5) ≈ [y(0.5+h) − y(0.5−h)]/(2h)。
     - 选取步长：h ≈ 10^{-3}·min(1/ω, 1/k)，避免过大（截断误差）或过小（舍入误差）。可试 h、h/2 并做收敛性比较。
     - 同时验证 k=0.2 与 k=0.3，比较与解析公式的相对误差是否 < 10^{-6}〜10^{-8}（依据数值精度要求设阈值）。
  2) 极限与特例一致性检查
     - 小频率极限 ω→0：sin(ωt)≈ωt，cos(ωt)≈1，推得 y′(0.5)≈A ω e^{-0.5k}(1−0.5k)，与通式一致。
     - 零衰减 k→0：y(t)=A sin(ωt)，y′(0.5)=A ω cos(0.5ω)，与通式一致（因 e^{0}=1 且 −k s→0）。
  3) 维度与单位检查
     - 若 t 用秒，ω 用 rad/s，k 用 1/s，则 y′ 的单位为 y 的单位每秒；保证 ω、k 与 t 的单位一致且 ω 以弧度每秒计。

- 计算风险检查（面向方案决策与复盘）：
  - 近抵消风险：当 ω cos(0.5ω) ≈ k sin(0.5ω) 时，括号项接近 0，y′(0.5) 对参数误差极其敏感；对比比值 R 的分母若接近 0，会产生数值不稳定。建议在该区域采用更高精度或不使用比值而改用差值并附带不确定度评估。
  - 溢出/下溢：大 k 或大 t 使 e^{-kt} 极小，可能发生下溢导致 y′(0.5) 数值为 0；使用高精度浮点或对数形式进行计算（先在对数域求和后回到线性域）。
  - 采样与差分：数值验证中的 h 选取不当会导致差分噪声放大或截断误差；建议做 h-halving 收敛检查。
  - 频率单位：ω 必须用弧度/秒而非赫兹；若给定 f（Hz），应替换 ω=2πf。
  - 参数不确定性：A、k、ω 的估计误差会线性或非线性传递到 y′；在靠近过零点时不确定度放大，建议做灵敏度分析（例如按 ∂y′/∂k、∂y′/∂ω 给出误差上界）。
  - 符号与方向：若 s>0 且 ω c − k s 改变符号，则瞬时变化率方向反转，影响控制/滤波策略判断，需在决策前识别是否接近过零点。

- 应用建议（支持方案决策与复盘）：
  - 方案选择基准：
    - 若期望更平缓的瞬时变化率（减小 |y′(0.5)| 以抑制瞬态尖峰/噪声敏感），通常偏向较大 k；但需检查是否接近过零点以避免方向误判。
    - 使用比值 R 快速评估两方案相对变化：R = e^{-0.05} · (ω c − 0.3 s)/(ω c − 0.2 s)。当分母较小或符号变化时，优先用绝对值比较 |y′(0.5;0.2)| 与 |y′(0.5;0.3)| 而非 R。
  - 复盘要点：
    - 记录 c、s 的数值（由 ω 决定）与 y′(0.5) 的观测值，核对解析预测。
    - 若出现偏差，首先检查单位、差分步长、参数估计误差与近抵消风险。
  - 练习与变式：
    - 变换测点：求一般 t 的 y′(t) 并分析随 t 的峰值与过零点位置。
    - 替换波形：y(t)=A e^{-kt} cos(ωt) 的 y′(0.5) 推导与对比。
    - 设计目标：给定阈值 |y′(0.5)| ≤ Y′max，反解允许的 k 区间，观察与 ω 的耦合关系。

- 问题类型识别：  
  - 模型推导；对给定位移函数 s(t)=t^2·e^{-t} 求一阶导数 ds/dt（速度）与二阶导数 d^2s/dt^2（加速度），并给出它们之间的关键关系、适用条件与近似范围，附可复现的推导记录。

- 核心概念：  
  - 导数与物理含义：s'(t)=ds/dt 表示速度 v(t)，s''(t)=d^2s/dt^2 表示加速度 a(t)。  
  - 可微性与解析性：多项式与指数函数在全实轴均无穷可微，乘积仍无穷可微。  
  - 乘积法则：d(uv)/dt = u'v + uv'。  
  - 链式法则：d(e^{g(t)})/dt = e^{g(t)}·g'(t)。  
  - 泰勒展开与余项：e^{-t} = 1 − t + t^2/2 − t^3/6 + …，余项可用拉格朗日余项界定误差。  
  - 临界点与凹凸：v(t)=0 给出极值候选点；s'' 的符号决定凹凸与极值类型。

- 相关定理：  
  - 乘积法则与链式法则（用于求 s' 与 s''）。  
  - 费马极值判别（内点极值需 v=0），二阶导数判别（用 a 的符号判断极大/极小）。  
  - 泰勒定理（带拉格朗日余项）：用以给出小 t 的近似与误差上界。  
  - 指数函数性质：e^{t} 与 e^{-t} 互为倒数，均为解析函数（支持“提因子”化简与建立线性关系）。

- 解题步骤：  
  1) 定义与域  
     - s(t)=t^2 e^{-t}，t∈R 上处处可微；若建模时间变量，通常 t≥0。  
  2) 一阶导数 v(t)=s'(t)（乘积法则+链式法则）  
     - s'(t) = (t^2)'·e^{-t} + t^2·(e^{-t})'  
     - = 2t·e^{-t} + t^2·(-e^{-t})  
     - = e^{-t}(2t − t^2) = e^{-t}·t·(2 − t)。  
  3) 二阶导数 a(t)=s''(t)  
     - 从 s'(t)=e^{-t}(2t − t^2) 再求导（乘积法则）：  
       s''(t) = (e^{-t})'(2t − t^2) + e^{-t}(2 − 2t)  
               = (−e^{-t})(2t − t^2) + e^{-t}(2 − 2t)  
               = e^{-t}(t^2 − 4t + 2)。  
  4) 关键关系（结构化关系，便于检验与复用）  
     - 指数“提因子”关系：e^{t}s(t) = t^2。  
       • 一次微分：d/dt[e^{t}s] = e^{t}(s' + s) = 2t ⇒ s' + s = 2t·e^{-t}。  
       • 二次微分：d^2/dt^2[e^{t}s] = e^{t}(s'' + 2s' + s) = 2 ⇒ s'' + 2s' + s = 2e^{-t}。  
       • 等价写法（以 v,a 表示）：  
         v + s = 2t·e^{-t}，a + 2v + s = 2e^{-t}。  
     - 零点与极值：v(t)=0 ⇔ e^{-t}·t(2−t)=0 ⇒ t=0, 2。  
       • t=2 为内部临界点（t≥0）；用二阶导判断 a(2)=e^{-2}(4−8+2)=−2e^{-2}<0 ⇒ s 在 t=2 取极大。  
       • 最大值：s(2)=4e^{-2}。  
     - 凹凸性：a(t)=e^{-t}(t^2−4t+2)。  
       • 拐点：a(t)=0 ⇒ t^2−4t+2=0 ⇒ t=2±√2。  
       • 凹凸区间（对 t≥0）：  
         0 ≤ t < 2−√2：a>0（凹向上）；  
         2−√2 < t < 2+√2：a<0（凹向下）；  
         t > 2+√2：a>0（凹向上）。  
  5) 近似展开（小 t 与大 t）  
     - 小 t 泰勒（取到 t^3 或 t^4 项，给误差界）：  
       e^{-t} = 1 − t + t^2/2 − t^3/6 + t^4/24 + O(t^5)。  
       • s(t)=t^2 e^{-t} = t^2 − t^3 + (1/2)t^4 − (1/6)t^5 + O(t^6)。  
       • v(t)=s'(t)=e^{-t}(2t − t^2) = 2t − 3t^2 + 2t^3 − (5/6)t^4 + O(t^5)。  
       • a(t)=s''(t)=e^{-t}(t^2 − 4t + 2) = 2 − 6t + 6t^2 − (10/3)t^3 + O(t^4)。  
       • 误差上界（以 s 为例，截断到 t^4 项）：  
         余项 R_s 满足 |R_s| ≤ (t^2)·(e^{ξ} t^4/4!) = t^6 e^{ξ}/24，ξ∈[0,t]。  
         相对误差界（相对于 s=t^2 e^{-t}）：|R_s|/|s| ≤ t^4 e^{2t}/24。  
         实用范围示例：t≤0.5 时，相对误差 ≤ (0.5^4·e^{1})/24 ≈ 0.68%。  
     - 大 t 渐近（e^{-t} 主导，给出比值极限）：  
       • s(t) ~ t^2 e^{-t}；v(t) ~ (−t^2 + 2t)e^{-t}，a(t) ~ (t^2 − 4t + 2)e^{-t}。  
       • 比值关系：v/s = (2/t − 1) → −1，a/s = 1 − 4/t + 2/t^2 → 1（t→∞）。  
       • 含义：大 t 时 v ≈ −s，a ≈ s，且均以 e^{-t} 速率衰减。

- 计算结果：  
  - 速度：ds/dt = s'(t) = e^{-t}(2t − t^2) = e^{-t}·t·(2 − t)。  
  - 加速度：d^2s/dt^2 = s''(t) = e^{-t}(t^2 − 4t + 2)。  
  - 线性关系：  
    • v + s = 2t·e^{-t}；  
    • a + 2v + s = 2e^{-t}。  
  - 极大值：t=2，s(2)=4e^{-2}，此时 v(2)=0，a(2)=-2e^{-2}<0。  
  - 拐点：t=2±√2（约 0.586 与 3.414）。

- 验证方法：  
  - 代回检验：将 s, v, a 代入 a + 2v + s 是否等于 2e^{-t}；将 v + s 是否等于 2t e^{-t}。  
  - 数值点检：  
    • t=0：s=0，v=0，a=2（由 a=e^{-t}(t^2−4t+2)）。  
    • t=2：v=0，a=-2e^{-2}<0，确认极大。  
  - 符号一致性：对 t∈(0,2)，v>0 ⇒ s 增；t>2，v<0 ⇒ s 降，与极大点一致。  
  - 可复现计算（简短脚本示例，Python/SymPy）：  
    ```
    import sympy as sp
    t = sp.symbols('t', real=True)
    s = t**2*sp.exp(-t)
    v = sp.diff(s, t)
    a = sp.diff(s, t, 2)
    print(sp.simplify(v), sp.simplify(a))
    print(sp.simplify(v + s - 2*t*sp.exp(-t)))     # → 0
    print(sp.simplify(a + 2*v + s - 2*sp.exp(-t))) # → 0
    ```

- 应用建议：  
  - 练习与变式：  
    1) 一般化参数：s(t)=t^k e^{-λt}。求 v 与 a，并证明 e^{λt}s=t^k ⇒ s'' + 2λ s' + λ^2 s = k(k−1) e^{-λt}。  
       • 极大值位置：v=0 ⇒ t*=k/λ；极大值 s(t*)=(k/λ)^k e^{-k}。  
    2) 对 s(t)=t^2 e^{-t}，求凹凸区间、拐点与曲率 κ(t) 的解析式，并画示意图。  
    3) 误差控制：给定允许相对误差 ε，求最小阶数 n，使小 t 泰勒截断在 |t|≤T 上满足 |R|/|s|≤ε。  
  - 实际应用提示：  
    - 该型函数刻画“先升后降”的脉冲/响应（如启动过程与衰减），v 与 a 的线性关系便于建立与校验微分方程；  
    - 小 t 近似用于初期增长估算（s≈t^2−t^3），大 t 渐近用于尾部快速衰减评估（以 e^{-t} 为主）。  
  - 备注（建模注意）：  
    - 物理时间常取 t≥0；单位一致性（若 t 以秒计，则 v 的单位为位移单位/秒，a 为位移单位/秒^2）。  
    - 数值实现时，建议用“提因子”形式 v=e^{-t}(2t−t^2)，a=e^{-t}(t^2−4t+2) 以提高稳定性；大 t 下避免直接展开多项式再与 e^{-t} 相乘造成的下溢或相消误差。