分步数学解题

{"solutionSteps": ["设未知数并列方程组：设甲单价为x元，乙单价为y元。由题：3x+2y=26，5x+4y=44", "解方程组求x、y：把第一式×2得6x+4y=52，用它减第二式(5x+4y=44)，得x=8；代回3x+2y=26，24+2y=26→y=1。故：甲8元/本，乙1元/本", "把满减写成“付款公式”：设一次购物原价总额T=8a+1·b（a、b分别是甲、乙本数）。每满20减2，即付款= T - 2·⌊T/20⌋（⌊ ⌋是向下取整）", "在预算40元下，先找“能达到的最大原价总额T”：分段看T：T∈[0,19]时付=T≤40；T∈[20,39]时付=T-2≤40→T≤42（本段上限39）；T∈[40,59]时付=T-4≤40→T≤44；T≥60时付≥T-6>40不可行。所以最大可行T是44", "由T最大来定本数最多的搭配：每本至少1元，所以同样的T下，买乙（1元/本）数量最多。取a=0，全买乙：T=8·0+b=b。让T达到最大44，取b=44", "验证与最优性说明：a=0,b=44时，原价T=44，满减4元，实付=44-4=40（不超预算）；本数=44本。任何含甲本(a≥1)时，为保持总本数N=a+b=44，有T=8a+b=8a+(44-a)=44+7a≥51，实付≥51-4=47>40，不可行；而且总体上N≤T且T≤44，故N最多为44，已达上界"], "explanation": "像在黑板上一步步来：先用两条“买本-花钱”的信息列出方程组，消元很快算出单价：甲8元，乙1元。接着把活动规则翻译成数学：一次买单原价是T=8a+b，每满20减2，所以实付= T - 2×(T整除20的次数)。小明预算40，我们不直接枚举a、b，而是先问：在这个满减下，原价T最多能到多少还不超40？分段计算发现T最大为44。最后记住一个关键小结：在原价一定的前提下，单价越低数量越多（因为每本至少1元），所以想本数最多就尽量多买乙。把T做到44后，全买乙就能拿到44本，刚好付40元。若掺入1本甲，想保住相同本数，总价会被抬高（每换入1本甲，T会增加7元），马上超过预算，因此全买乙既可行又最优。", "difficultyLevel": "中等"}

{"solutionSteps": ["步骤1（一致性检查）：设抛物线顶点在直线 x=2 上，则对称轴为 x=2，或 -b/(2a)=2（即 b=-4a）；也可写成顶点式 y=a(x-2)^2+k。将点 A(1,2)、B(3,6) 代入顶点式：x=1 得 a+k=2；x=3 得 a+k=6，矛盾。因此“过 A(1,2)、B(3,6) 且顶点在 x=2”三条件不相容，原题无解。", "步骤2（合理订正并继续解）：为便于讲解，作最小改动把 B 改成 B(4,6)。此时三条件独立且可唯一确定函数。下文按 A(1,2)、B(4,6)、顶点在 x=2 解题。", "步骤3（配方法化顶点式并求参数）：设 y=a(x-2)^2+k。代 A(1,2)：a+k=2；代 B(4,6)：4a+k=6。相减得 3a=4 ⇒ a=4/3；代回 k=2-4/3=2/3。还原一般式：y=(4/3)(x-2)^2+2/3 = (4/3)x^2-(16/3)x+6。因此 a=4/3，b=-16/3，c=6。", "步骤4（最小值与取得自变量）：a>0 开口向上，顶点为 (2,2/3)。故最小值为 2/3，在 x=2 处取得。", "步骤5（与 x 轴交点）：解 (4/3)x^2-(16/3)x+6=0。判别式 Δ=b^2-4ac = (-16/3)^2 -4*(4/3)*6 = -32/9 < 0，无实数根，故与 x 轴无交点。", "步骤6（把顶点平移到原点）：顶点 (2,2/3) 平移到原点，做平移变换 X=x-2，Y=y-2/3。则 Y=(4/3)X^2。若用“新坐标”仍记作 x,y，则平移后的解析式为 y=(4/3)x^2。", "步骤7（方程 ax^2+bx+c=t 的实根个数）：原函数 y=(4/3)(x-2)^2+2/3。方程等价于 (4/3)(x-2)^2+2/3=t ⇒ (x-2)^2=(3/4)(t-2/3)。故：1) t>2/3：右侧>0，有两个不等实根；2) t=2/3：右侧=0，有一个重根 x=2；3) t<2/3：右侧<0，无实根。判别式同证：Δ(t)=b^2-4a(c-t)=(-32/9)+4a t = -32/9 + (16/3)t = (16/9)(3t-2)，符号取决于 3t-2。"], "explanation": "题型与考点：二次函数顶点式与一般式互化、配方法、判别式与根的个数、图像平移。适合高二函数与方程综合。\n\n先说重要提醒：原题给定的三条条件彼此矛盾。因为若对称轴是 x=2，则关于 2 等距离的两点 x=1 与 x=3 的函数值应该相等；但题目给了 y(1)=2、y(3)=6，不可能同时成立。所以原题无解。为了把方法讲清楚，我们把 B 轻微订正为 B(4,6) 来完整演示思路（这样三条信息独立且可唯一解出参数）。\n\n详细思路拆解：\n- 思路1（先统一到顶点式）：顶点在 x=2，最直接就是把函数写成 y=a(x-2)^2+k。这样 a 控制开口与“胖瘦”，k 就是顶点的纵坐标。然后把已知点代进去列方程。\n- 思路2（两点代入求 a、k）：代入 A(1,2) 得 a+k=2；代入 B(4,6) 得 4a+k=6。两式相减就干净地消掉 k，求出 a=4/3，再回代出 k=2/3。\n- 思路3（还原一般式 a,b,c）：把 y=(4/3)(x-2)^2+2/3 展开：x^2-4x+4 先写好，再乘以 4/3，最后加 2/3，得到 (4/3)x^2-(16/3)x+6。因此 a=4/3，b=-16/3，c=6。也可以用对称轴公式 -b/(2a)=2 检核，代入 a=4/3 得 -b/(8/3)=2 ⇒ -3b/8=2 ⇒ b=-16/3，吻合。\n- 思路4（最小值与取得处）：a>0 开口向上，顶点就是最小点，坐标 (2,2/3)。所以最小值 2/3 在 x=2 取得。\n- 思路5（与 x 轴交点）：有无交点看判别式。Δ=b^2-4ac=-32/9<0，说明图像整体在 x 轴之上，没有交点。这也能从顶点式看出来：(4/3)(x-2)^2≥0，最小值是 2/3>0，所以整条曲线都高于 x 轴。\n- 思路6（平移到原点）：把顶点 (2,2/3) 移到原点，需要整体“左移 2、下移 2/3”。把“老坐标” (x,y) 变成“新坐标” (X,Y)：X=x-2，Y=y-2/3。代入得到 Y=(4/3)X^2。这就是平移后的解析式。如果为了书写简洁，把新变量仍记作 x,y，那么就是 y=(4/3)x^2。\n- 思路7（ax^2+bx+c=t 的根的个数）：这相当于拿水平直线 y=t 去和抛物线 y=f(x) 交点的个数。用顶点式最直观： (x-2)^2=(3/4)(t-2/3)。右边>0（t>2/3）时有两个解；=0（t=2/3）时一个重解；<0（t<2/3）时无解。用判别式也能得到同样结论：Δ(t)=(16/9)(3t-2)，以 t=2/3 为分界。\n\n图示建议（动手画一画就更清楚）：\n- 先画坐标轴与直线 x=2（虚线标出对称轴）。\n- 标出 A(1,2) 与订正后的 B(4,6)，再画出开口向上的抛物线，顶点在 (2,2/3)。\n- 用一条水平可移动的直线 y=t，在 t=2/3、t>2/3、t<2/3 三种情形下，观察与抛物线的交点个数变化。\n- 平移示意：把整条曲线向左平移 2、向下平移 2/3，顶点刚好落在原点，新图像是 y=(4/3)x^2。\n\n常见错误提醒：\n- 把“顶点在 x=2 上”误解为“x=2 是解”或写成 b=-2a（正确是 -b/(2a)=2，即 b=-4a）。\n- 忽略一致性检查：像本题中 x=1 与 x=3 关于 2 对称，但函数值不等，立刻说明矛盾。\n- 配方展开常漏项或符号错：x^2-4x+4 别把 +4 遗漏。\n- 判别式写错成 b^2-4ac=t 之类；本题应是 b^2-4a(c-t)。\n- 平移后混淆新旧坐标：务必写清 X=x-2，Y=y-2/3，再把式子化到新坐标。\n\n小结：这道题的核心是顶点式 y=a(x-h)^2+k 的灵活使用。遇到“顶点在某条竖直直线”时，优先把式子改成顶点式，既能快速检错，也能高效求参。", "difficultyLevel": "中等"}